Enunciado

O eixo é composto por uma seção maciça de aço A B e uma porção tubular feita de aço com núcleo de latão. Se o eixo estiver preso a um apoio rígido A e for aplicado um torque T =   50   N ⋅ m a ele em C , determine o ângulo de torção que ocorre em C e calcule a tensão de cisalhamento máxima e a deformação por cisalhamento máxima no latão e no aço. Considere G a ç o = 80   G P a , G l a t ã o = 40   G P a .

Passo 1

E aí, pessoal!

O que a gente tem aqui é um eixo que até B é feito de aço, e depois até C é feito de aço com núcleo de latão. Então esses dois materiais vão produzir torques para reagir ao torque aplicado em C .

Por termos essas duas reações diferentes, isso é um problema estaticamente indeterminado. Vamos precisar compatibilidade de ângulos.

Vamos começar o problema anotando os dados que foram fornecidos:

T C = 50   N ⋅ m

G a ç o = 80 ⋅ 10 9   P a

G l a t ã o = 40 ⋅ 10 9   P a

Vamos seguir!

Passo 2

Efetuando o somatório dos momentos que atuam no eixo, temos:

↺ + ∑ M x = 0

T a ç o + T l a t ã o - 50 = 0

Quando o eixo for submetido aos torques, o ângulo de torção do aço e do latão no segmento C B será o mesmo, pois nesse intervalo os materiais estão concêntricos, isso é, o latão e o aço estão presos e só podem rotacionar juntos, por isso, o ângulo de torção será o mesmo.

ϕ a ç o C B = ϕ l a t ã o C B

T a ç o ⋅ L a ç o C B J a ç o G a ç o = T l a t ã o ⋅ L l a t ã o C B J l a t ã o G l a t ã o

Em que, momento polar de inércia, J , para o eixo é dado por:

J = π 2 ⋅ ( c 4 )

E para o tubo:

J = π 2 ⋅ ( c 0 4 - c i 4 )

Podemos cortar os termos que são iguais nos dois membros, já que L a ç o B C = L l a t ã o B C . Substituindo e simplificando, temos:

T a ç o 0,02 4 - 0,01 4 ⋅ 80 = T l a t ã o 0,01 4 ⋅ 40

T a ç o = 30 T l a t ã o

Passo 3

Substituindo T a ç o na equação que chegamos fazendo o somatório dos momentos, temos:

T a ç o + T l a t ã o - 50 = 0

30 T l a t ã o + T l a t ã o - 50 = 0

T l a t ã o = 1,613   N ⋅ m

T a ç o = 48,387   N ⋅ m

Passo 4

Vamos calcular agora o ângulo de torção em C .

ϕ C = ϕ a ç o + ϕ l a t ã o

Como temos aço em seções diferentes, vamos escrever:

ϕ C = T a ç o L a ç o A B J a ç o A B G a ç o + T a ç o L a ç o B C J a ç o B C G a ç o

ϕ C = 2 ⋅ 48,387 ⋅ 1,5 π ⋅ 0,02 4 ⋅ 80 ⋅ 10 9 + 2 ⋅ 1,613 ⋅ 1 π ⋅ ( 0,01 4 ) ⋅ 40 ⋅ 10 9

ϕ C = 0,00620663   r a d

Convertendo para graus:

ϕ C = 0 , 00620663   r a d ⋅ 180 ° π

ϕ C = 0.361 °

Aqui ficamos diferentes do gabarito, mas tá certinho, ok?

Passo 5

Para encontramos a tensão de cisalhamento máxima usamos:

τ m á x = T c J

A tensão máxima no aço vai ocorrer no segmento CB que é tubular (menor área causa maior tensão para um mesmo carregamento). Calculando:

τ a ç o = 48,387 ⋅ 0,02 π 2 ⋅ 0,02 4 - 0,01 4

τ a ç o = 4,11   M P a

No latão, a tensão máxima é:

τ l a t ã o = 1,613 ⋅ 0,01 π 2 ⋅ 0,01 4

τ l a t ã o = 1,03   M P a

Passo 6

Último passo, calcular a deformação por cisalhamento nos dois materiais. Ela é dada por:

γ = c ⋅ ϕ L

Como as tensões no material permanecem abaixo dos limites de proporcionalidade e elasticidade (Lei de Hooke), podemos fazer:

γ = c ⋅ ϕ L = τ m á x G

Para o aço:

γ a ç o = τ a ç o G a ç o = 4,11 ⋅ 10 6 80 ⋅ 10 9

γ a ç o = 51,37 ⋅ 10 - 6   r a d

Para o latão:

γ l a t ã o = τ l a t ã o G l a t ã o = 1,03 ⋅ 10 6 40 ⋅ 10 9

γ l a t ã o = 25,75 ⋅ 10 - 6   r a d

Resposta

ϕ C = 0.361 °

τ a ç o = 4,11   M P a

τ l a t ã o = 1,03   M P a

γ a ç o = 51,37 ⋅ 10 - 6   r a d

γ l a t ã o = 25,75 ⋅ 10 - 6   r a d

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