Enunciado

O eixo composto tem uma seção média que indica o eixo maciço de 20   m m de diâmetro e um tubo soldado a flanges rígidas em A e B . Despreze a espessura das flanges e determine o ângulo de torção da extremidade C do eixo em relação à extremidade D . O eixo é submetido a um torque de 800   N . m . O material é aço A-36.

Passo 1

O problema nos fornece como dados:

Aço A-36, portanto G = 75 ⋅ 10 9 P a

d e i x o =   20   m m = 0,02   m

d 0 t u b o = 60   m m = 0,06   m

T = 800   N ⋅ m

Vamos então construir o diagrama de corpo livre:

Fazendo o somatório dos momentos, temos:

↺ + ∑ M x = 0

T t u b o + T e i x o - 800 = 0

Analisando a figura e a disposição dos torques, vemos que na seção A B :

ϕ t u b o = ϕ e i x o

T t u b o ⋅ L t u b o J G = T e i x o ⋅ L e i x o J G

Em que, momento polar de inércia, J , para o eixo é dado por:

J = π 2 ⋅ ( c 4 )

E para o tubo:

J = π 2 ⋅ ( c 0 4 - c i 4 )

Substituindo e simplificando:

T t u b o ⋅ L t u b o π 2 ⋅ c 0 t u b o 4 - c i t u b o 4 ⋅ G = T e i x o ⋅ L e i x o π 2 ⋅ c e i x o 4 ⋅ G

Antes de substituis os valores, vamos observar que na figura ele mostra que a espessura do tubo é 5   m m . Tendo em vista que o seu raio externo é 30   m m , então o raio interno será:

c i t u b o = 30 - 5 = 25   m m

Podemos cortar os termos que são iguais em ambos os membros, como o comprimento L , o π 2 e o G (eixo e tubo de mesmo material). Calculando, chegamos à:

T t u b o 0,03 4 - 0,025 4 = T e i x o 0,01 4

T t u b o = 41,9375 T e i x o

Passo 2

Substituindo T t u b o na equação que chegamos fazendo o somatório dos momentos, temos:

T t u b o + T e i x o - 800 = 0

41,9375 T e i x o + T e i x o - 800 = 0

42,9375 T e i x o = 800

T e i x o = 18,632   N ⋅ m

T t u b o = 781,368   N ⋅ m

Passo 3

Agora, descobriremos o ângulo de torção da extremidade C do eixo em relação à extremidade D . Que vai ser a soma de:

ϕ C / D = ϕ C A + ϕ A B + ϕ B D

Sendo que:

ϕ C A = ϕ B D

Calculando:

ϕ C / D = 2 ⋅ T e i x o L C A π 2 ⋅ c e i x o 4 ⋅ G + T t u b o L t u b o π 2 ⋅ c 0 t u b o 4 - c i t u b o 4 ⋅ G

ϕ C / D = 2 ⋅ 18,632 ⋅ 0,1 π 2 ⋅ 0,01 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9 + 781,368 ⋅ 0,15 π 2 ⋅ 0,03 4 - 0,025 4 ⋅ 75 ⋅ 10 9

ϕ C / D = 0,00553533   r a d

Convertendo para graus:

ϕ C / D = 0,00553533   r a d ⋅ 180 ° π

ϕ C / D = 0,317 °

Resposta

ϕ C / D = 0,317 °

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