Enunciado

O eixo cônico está confinado pelos apoios fixos em A e B . Se for aplicado um torque T em seu ponto médio, determine as reações nos apoios.

Passo 1

Vamos lá resolver esse problema?

O enunciado pede que encontremos o torque nos apoios A e B . O eixo cônico está fixo nas duas extremidades, então fazendo o diagrama de corpo livre e o somatório dos momentos, temos:

↺ + ∑ M = 0

T A + T B - T = 0

Fazendo um corte na seção B C , vemos que o único torque agindo é T B .

E fazendo um corte na seção A C , temos que:

↺ + ∑ M = 0

T B - T - T A C = 0

T A C = T B - T

Passo 2

Vamos então desenhar um diagrama do corte lateral do eixo:

Fazendo uma semelhança de triângulos, temos que:

c L = y x

y = c L ⋅ x

Com base no desenho, vamos então calcular o raio do eixo no local onde o torque T é aplicado e chama-lo de c ’ :

c ' = c + y

Substituindo y :

c ' = c 1 + x L

Passo 3

Vamos chamar de ϕ 1 o ângulo que varia desde a extremidade B até L / 2 e de ϕ 2 o que varia de L / 2 até a extremidade A . Observe que estamos pegando intervalos das extremidades ao ponto onde T é aplicado!

É uma viga engastada nas duas extremidades, então:

ϕ 1 + ϕ 2 = 0

∫ 0 L / 2 T B d x π 2 ⋅ c ' 4 ⋅ G + ∫ L / 2 L ( T B - T ) d x π 2 ⋅ c ' 4 ⋅ G = 0

2 T B π G ∫ 0 L / 2 1 c ' 4 d x + 2 ( T B - T ) π G ∫ L / 2 L 1 c ' 4 d x = 0

Substituindo c ’ :

2 T B π G ∫ 0 L / 2 1 c 1 + x L 4 d x = 2 ( T B - T ) π G ∫ L / 2 L 1 c 1 + x L 4 d x = 0

2 T B π G c 4 ∫ 0 L / 2 1 1 + x L 4 d x + 2 ( T B - T ) π G c 4 ∫ L / 2 L 1 1 + x L 4 d x = 0

Aplicando a integração por substituição u = x L :

2 T B π G c 4 ∫ 0 1 / 2 L 1 + u 4 d u + 2 ( T B - T ) π G c 4 ∫ 1 / 2 1 L 1 + u 4 d u = 0

2 T B L π G c 4 ∫ 0 1 / 2 1 1 + u 4 d u + 2 L ( T B - T ) π G c 4 ∫ 1 / 2 1 1 1 + u 4 d u = 0

Aplicando a integração por substituição v = 1 + u :

2 T B L π G c 4 ∫ 1 3 / 2 1 v 4 d v + 2 L ( T B - T ) π G c 4 ∫ 3 / 2 2 1 v 4 d v = 0

2 T B L π G c 4 ∫ 1 3 / 2 v - 4 d v + 2 L ( T B - T ) π G c 4 ∫ 3 / 2 2 v - 4 d v = 0

Aplicando a regra da potência:

2 T B L π G c 4 v - 4 + 1 - 4 + 1 1 3 / 2 + 2 L ( T B - T ) π G c 4 v - 4 + 1 - 4 + 1 3 / 2 2 = 0

2 T B L π G c 4 v - 3 - 3 1 3 / 2 + 2 L ( T B - T ) π G c 4 v - 3 - 3 3 / 2 2 = 0

2 T B L π G c 4 - 1 3 v 3 1 3 / 2 + 2 L ( T B - T ) π G c 4 - 1 3 v 3 3 / 2 2 = 0

2 T B L π G c 4 - 1 3 ⋅ 3 2 3 - - 1 3 ⋅ 1 3 + 2 L ( T B - T ) π G c 4 - 1 3 ⋅ 2 3 - - 1 3 ⋅ 3 2 3 = 0

38 T B L 81 π G c 4 + 74 L T B - T 648 π G c 4 = 0

Simplificando, temos que:

T B = 37 189 T

Substituindo T B na expressão que encontramos no somatório:

T A + T B - T = 0

T A + 37 189 T - T = 0

T A = 152 189 T

Resposta

T A = 152 189 T

T B = 37 189 T

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