Enunciado

O peso é suspenso por cabos de aço e alumínio, cada um com o mesmo comprimento inicial de 3   m e área de seção transversal de 4   mm 2 . Se considerarmos que os materiais são elásticos perfeitamente plásticos com σ e , a ç o = 120   MPa e σ e , a l = 70   MPa , determine a força em cada cabo se o peso for ( a ) 600   N e ( b ) 720   N . E a l = 70   GPa , E a ç o = 200   GPa

Passo 1

Um peso P é sustentando por dois cabos, um de aço e um de alumínio. Os materiais devem ser considerados elastoplásticos.

Vamos anotar tudo, e fique atento: a questão fala sobre os materiais serem elastoplásticos, então precisamos checar escoamento!

Características dos cabos:

  • Cabo de alumínio: E a l = 70   GPa , σ e , a l = 70   MPa .
  • Cabo de aço: E a ç o = 200   GPa , σ e , a ç o = 120   MPa .
  • Área transversal: A = 4   mm 2 .
  • Comprimento inicial: L = 3   m .

A questão pede que investiguemos dois casos:

  • Caso A : P A = 600   N .
  • Caso B : P B = 720   N .

Queremos saber a força ocorrendo em cada material!

Primeiro vamos supor que os materiais permanecem elásticos (tensões menores que a tensão de escoamento). Isso significa, nessa questão, em resolver um problema estaticamente indeterminado.

Aí vamos ver se alguma das tensões calculadas é maior que a tensão de escoamento! Se for, vamos tratar de usar o comportamento dos elastoplásticos.

Passo 2

Começamos com equilíbrio de forças. Só tem uma direção no problema, e os cabos tem que sustentar o peso:

∑ F = 0           →           F a ç o + F a l = P  

Essa condição é verdade pros dois casos ( P é conhecido!). Vamos caçar mais relações. Vejamos a condição de compatibilidade.

Passo 3

O peso vai estender os cabos, aumentando o tamanho deles. O cabo de aço e o cabo de alumínio tem que aumentar o mesmo comprimento!

δ a ç o = δ a l

Considerando que estamos no regime elástico, temos fórmula pra esses caras. Relação carga-deslocamento:

δ = F   L A   E

F a ç o   L A   E a ç o = F a l   L A   E a l

F a ç o = 2,857 F a l

Atenção que só podemos usar essa fórmula agora porque estamos supondo regime elástico! Depois vamos verificar se estamos certos em usar isso.

Passo 4

Agora vamos resolver o sistema de equações considerando o Caso A . Substitua F a ç o = 2,857 F a l na equação que veio do equilíbrio e use P A = 600   N .

F a ç o + F a l = 600   N           →           3,857 F a l = 600   N

F a l , A = 155,56   N

F a ç o = 2,857 F a l           →         F a ç o , A = 444,44   N

Show, achamos um resultado pro Caso A . Mas isso só é valido se estivermos no regime elástico. Temos que checar se isso é verdade!

Divida cada força pela área A = 4   m m 2 , assim temos as tensões:

σ = F A

σ a l , A = 38,89   MPa

σ a ç o , A = 111,11   MPa

A tensão no alumínio é menor que a tensão de escoamento dele, σ a l , A < σ e , a l . OK!

A tensão no aço é menor que a tensão de escoamento dele, σ a ç o , A < σ e , a l . OK!

Maneiro, então pro Caso A acabou! As forças em cada cabo são F a l , A = 155,56   N e F a ç o , A = 444,44   N

Bora pro Caso B !

Passo 5

A lógica pro Caso B é a mesma a princípio: primeiro precisamos resolver o problema estaticamente indeterminado no regime elástico.

Voltando ao Passo 3 , temos que

F a ç o = 2,857 F a l

Substitua isso na equação de equilíbrio do Passo 2 , só que agora o forçamento é P B = 720   N .

F a ç o + F a l = 720   N             →           3,857 F a l = 720   N

F a l , B = 186,67   N

F a ç o = 2,857 F a l           →         F a ç o , B = 533,32   N

De novo, esses valores só são válidos se ainda estivermos no regime elástico. Vamos checar!

Divida cada força pela área A = 4   m m 2 , assim temos as tensões:

σ a l , B = 46,67   MPa

σ a ç o , B = 133,33   MPa

A tensão no alumínio é menor que a tensão de escoamento dele, σ a l , B < σ e , a l . OK!

Mas a tensão no aço dessa vez é maior que a tensão de escoamento dele, σ a ç o , B > σ e , a l .

Temos que avaliar o Caso B de novo, porque a relação da compatibilidade F a ç o = 2,857 F a l não é válida!

A informação que temos é: o aço com certeza vai escoar!

Passo 6

Como os materiais são elastoplásticos, quando eles atingem a σ e , a tensão neles vai continuar sendo a tensão de escoamento! Então a tensão no aço é na verdade:

σ a ç o , B = σ e , a ç o = 120   MPa

Se o aço está sob tensão σ a ç o = 120   MPa , podemos multiplicar pela área A pra saber qual é o máximo de carregamento que ele está aguentando:

σ = F A           →         F a ç o , B = 120   MPa ⋅ 4   mm 2

F a ç o , B = 480   N

Beleza, essa é a verdadeira força que o cabo de aço sustenta no Caso B ! Agora vamos ver pro alumínio!

Aí a gente volta pra equação de equilíbrio com P B = 720   N :

F a ç o + F a l = 720   N           →         F a l , B = 240   N

Atenção: você tem que fazer essa conta com a condição de equilíbrio! A relação F a ç o = 2,857 F a l que achamos pela compatibilidade só seria válida se os dois materiais estivessem em regime elástico. Cuidado com isso!

Passo 7

Pra fechar o Caso B temos que conferir se o cabo de alumínio escoa com F a l , B = 240   N .

σ = F A           →         σ a l = 240   N 4   mm 2

σ a l , B = 60   MPa

Ótimo, não ultrapassou σ e , a l = 70   MPa !

Fechou a questão! No Caso B , o cabo de aço escoa, suportando uma força F a ç o , B = 480   N , e o cabo de alumínio permanece no regime elástico, suportando F a l , B = 240   N .

OBS: exercite seu entendimento! Se a tensão no cabo de alumínio também tivesse sido maior que o limite de escoamento, significaria que os cabos não suportam o peso, e vão continuar estendendo até romper!

Resposta

Forças quando o peso é P A = 600   N :

  • No cabo de alumínio: F a l , A = 155,56   N .
  • No cabo de aço: F a ç o , A = 444,44   N .
  • Forças quando o peso é P B = 720   N :

  • No cabo de alumínio: F a l , B = 240   N .
  • No cabo de aço: F a ç o , B = 480   N .
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