Enunciado

O eixo S exerce três componentes de força sobre a ferramenta D . Encontre a intensidade e os ângulos de direção coordenados da força resultante. A força F 2 atua dentro do octante mostrado.

Passo 1

Queremos encontrar a força F R , antes vamos decompor nossas forças do sistema.

Nossa F 1 já está praticamente pronta como se encontra sobre o eixo x :

F 1 = 400 i N

Passo 2

Para a F 2 já temos dois ângulos de direção coordenada, vamos encontrar o terceiro pela relação:

cos 2 ⁡ α + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ γ = 1

Assim:

cos 2 ⁡ 60 ° + cos 2 ⁡ β + cos 2 ⁡ 60 ° = 1

β = cos 1 ⁡ 1 - cos ⁡ 60 ° 2 - cos ⁡ 60 ° 2  

β = 45 °

Agora decompondo F 2 nas suas componentes:

Para x :

cos ⁡ α = F 2 x F 2

F 2 x = 300 cos ⁡ 60 °

F 2 x = 150   N

Para y :

cos ⁡ β = F 2 y F 2

F 2 y = 3 00 cos ⁡ 45 °

F 2 y = 212   N

E Para z :

cos ⁡ γ = F 2 z F 2

F 2 z = 3 00 cos ⁡ 6 0 °

F 2 z = 15 0   N

E o vetor cartesiano de F 2 fica:

F 2 = 150 i + 212 j + 150 k N

Passo 3

Agora nossa F 3 , ela se encontra no plano y z , então terá duas componentes e vamos encontra-las usando a relação de catetos e hipotenusas do triângulo dado:

No eixo y :

F 3 y = F 3   - 4 5

F 3 y = 200   - 4 5

F 3 y = - 160   N

No eixo z :

F 3 z = F 3 3 5

F 3 z = 200 3 5

F 3 z = 120   N

Logo, nossa F 3 como vetor cartesiano:

F 3 = - 160 j + 120 k   N

Passo 4

Na nossa reta final, vamos encontrar a força resultante, dado que:

F R = F 1 + F 2 + F 3

F R x i + F R y j + F R z k = F 1 x i + F 1 y j + F 1 z k + F 2 x i + F 2 y j + F 2 z k + F 3 x i + F 3 y j + F 3 z k

F R x i + F R y j + F R z k = 400 i + 150 i + 212 j + 150 k + - 160 j + 120 k

F R x i + F R y j + F R z k = { 550 i + 52 j + 270 k }

F R x = 550   N

F R y = 52   N

F R z = 270   N

E a intensidade do seu módulo será:

F R   = F R x 2 + F R y 2 + F R z 2

F R   = 550 2 + 52 2 + 27 0 2

F R   =   615   N

Passo 5

Só falta encontrar os ângulos de direção coordenados de F R , sendo:

cos ⁡ α = F x F ∴ α = cos - 1 ⁡ F x F  

cos ⁡ β = F y F   ∴ β = cos - 1 ⁡ F y F

cos ⁡ γ = F z F   ∴ γ = cos - 1 ⁡ F z F

Então:

α = cos - 1 ⁡ 550 615 ∴ α = 26,6 °

β = cos - 1 ⁡ 52 615 ∴ β = 85,2 °

γ = cos - 1 ⁡ 270 615 ∴ γ = 64,0 °

Resposta

F R   =   615   N

α = 26 , 6 °

β = 85,2 °

γ = 64,0 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse cada força na forma de vetor cartesiano.
Determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante, e desenhe esse vetor no sistema de coordenadas.
Se FB = 560 N e FC = 700 N, determine a intensidade e os ângulos diretores coordenados da força resultante no mastro.
Expresse cada força na forma de vetor cartesiano.
O cabo com 8 m de extensão está fixado ao solo em A. Se x = 4 m e y = 2 m, determine a coordenada z até o ponto mais alto da fixação ao longo da coluna.