Enunciado

O eixo é feito de um material elástico perfeitamente plástico como mostra a figura. Determine o torque que o eixo pode transmitir se o ângulo de torção admissível for 0,375 rad. Determine também o ângulo de torção permanente, uma vez removido o torque. O eixo tem 2m de comprimento.

Passo 1

Dados da questão: r = 20 m m ,   ϕ a d m = 0,375 r a d ,   L = 2 m ,   τ e = 150 M P a ,   γ e = 0,001875 r a d

O que a questão pede:

  • O torque para atingir a tensão admissível T = ?
  • O ângulo de torção residual ϕ r = ?

Estratégia de resolução:

  • Primeiro vamos calcular o momento de inércia e módulo de cisalhamento do material.
  • Calcular o raio do núcleo elástico.
  • Aplicar a equação de torque que corresponda ao comportamento do material
  • Calcular o ângulo de torção recuperado elasticamente
  • Calcular o ângulo de torção residual.

Passo 2

Baseado no gráfico de tensão-deformação podemos calcular o módulo de cisalhamento pela lei de hooke

G = τ e γ e = 150   M P a 0,001875   r a d ⇒ G = 80   G P a

E podemos calcular também o momento de inércia:

J = π 2 r 4 = π 2 ⋅ 20 4 ⇒ J = 80 π ⋅ 10 - 9   m 4

Passo 3

Vamos considerar que na região externa do eixo ocorre deformação máxima. Então podemos utilizar o ângulo de torção máximo para determinar a deformação sobre o eixo.

ϕ a d m = γ m a x L r ⇒ γ m a x = ϕ a d m r L = 0,375   r a d ⋅ 0,020   m 2   m ⇒ γ m a x = 0,00375   r a d

Utilizando a deformação que ocorre na parte mais externa do eixo, podemos calcular em qual raio está o núcleo elástico. Sabemos que no núcleo elástico a deformação é igual ao escoamento, então:

γ m a x r = γ e ρ e ρ e = γ e γ m a x r  

ρ e = 0,001875   r a d 0,00375   r a d ⋅ 20   m m

ρ e = 10   m m

Passo 4

Agora que garantimos que o material está com um torque de comportamento elástico-plástico e calculamos o tamanho do núcleo elástico, podemos utilizar a Equação 5.26 para determinar o torque:

T = π 6 τ e ⋅ ( 4 r 4 - ρ e 4 )

Substituindo os valores:

T = π 6 ⋅ 150 ⋅ 10 6 ⋅ ( 4 ⋅ 0,020 3 - 0,010 3 )

T = 2434,73   N m

Passo 5

Quando o torque é aliviado, a energia elástica acumulada no eixo é liberada e gera um torque igual intensidade em sentido contrário ao original. Isso gera uma “des-deformação” elástica, que pode ser calculada pela equação 5.15

ϕ ' = T L J G

ϕ ' = 2434,73   N m ⋅ 2 m 80 ⋅ 10 - 9   m 4 ⋅ 80 ⋅ 10 9 P a

ϕ ' = 0,24219   r a d

Passo 6

O ângulo de tensão residual permanente é simplesmente a subtração do ângulo de torção plástico (dado pela questão) menos o ângulo de recuperação de torção calculado no passo anterior:

ϕ r = ϕ m á x - ϕ '

ϕ r = 0,375 - 0,242

ϕ r = 0,133   r a d

ϕ r = 7,62 º

Resposta

ϕ r = 7,62 º

T = 2434,73   N m

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