Enunciado

Um eixo de 8 kg mostrado na figura tem uma seção transversal constante. Sabendo que o eixo gira com uma taxa constante ω = 12 rad /s, determine as reações dinâmicas nos pontos A e B.

Passo 1

Vamos lá resolver mais essa. Temos que determinar as reações dinâmicas nos pontos A e B. Para isso, vamos determinar os momentos envolvidos no movimento. A velocidade angular é:

ω → = ω i →

O momento angular sobre o centro de massa G é:

H → G = I - x ω i → - I - x y ω j → - I - x z ω k →

Vamos assumir que o eixo de referência A x y z rotacional com uma certa velocidade angular:

Ω → = ω i →

Assim, a taxa de variação H → ˙ G é:

H → G ˙ = H → ˙ G A x y z + Ω → × H → G  

H → ˙ G = 0 + ω i → × I - x ω i → - I - x y ω j → - I - x y ω k → = I - x z ω 2 j → - I - x y ω 2 k →

Como o eixo está localizado no plano xz, I - x y = 0

Passo 2

Agora vamos determinar as forças e os momentos de inércia. Por simetria, o centro de massa está localizado na linha AB. No centro de massa, a aceleração é nula. Assim,

∑ F = ∑ F e f f

A → + B → = m a → - = 0 → A = - B

As forças A e B funcionam com um binário. Fazendo o somatório dos momentos no centro de massa, temos:

b i → × B y j → + B z k → = H → ˙ G

- b B z j → + b B y k → = I - x z ω j →

B z =   - I x z ω 2 b

B y = 0

em que b é a distância entre o ponto A e B e b = 4 a

Para os cálculos do momento de inércia, vamos separar o eixo em 8 segmentos, como mostra a figura abaixo

A massa de cada segmento é:

m ' = 8 8 = 1   k g

Para os segmentos 1, 4, 5 e 8, I x y = 0

Com isso,

I x z = m ' a - a 2 + m ' - a 2 - a + m ' a 2 a + m ' a a 2 = 2 m ' a 2

Passo 3

Agora, a gente substitui os valores do momento de inércia e de velocidade angular na equação de B z :

B z =   - I x z ω 2 b = - 2 m ' a 2 ω 2 4 a

B z = - 2 1 0,2 2 12 2 4 0,2 =   - 14,4   N

Como A → = - B → , temos:

A y = 0

A z = - B z = 14,4   N

Assim,

A → = ( 14,4   N ) k →

B → = - ( 14,4   N ) k →

Resposta

A → = ( 14,4   N ) k →

B → = - ( 14,4   N ) k →

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