Enunciado

Depois do eixo maciço do Prob. 3.98 ter sido carregado e descarregado, como descrito no problema, um torque T 1 , de sentido oposto ao torque original T , é aplicado ao eixo. Considerando que o valor de τ e não varia, determinar o ângulo de torção Ф 1 , para que o escoamento se inicie neste segundo carregamento e compará-lo com o ângulo Ф e , que representa o início do escoamento do eixo no carregamento original.

Passo 1

No item a) para descobrirmos a tensão máxima que age na nossa estrutura, precisamos antes saber a máxima tensão que a nossa estrutura suporta, e para isso a nossa fórmula é dada por:

T e = J c τ e

Sabemos pelo enunciado que:

c = D 2 = 75 2 = 37,5 m m

J = π c 4 2 = π 37,5 4 2 = 3106311   m m 4

τ e = 145   M P a = 145 N m m 2

Ф = 5,5 ° = 5,5   .   π 180 = 0,09599   R a d

L = 1,2   m = 1200   m m

G = 77   G P a = 77000   M P a

Substituindo teremos que:

T e = 3106311 37,5 145 = 12011069   N m m = 12011   N m = 12,01   k N m

Como temos o ângulo em que a nossa barra é girada, podemos usar a seguinte equação para nos ajudar:

γ m a x = c Ф L

Como todos esses dados nós já temos, podemos substituir na nossa equação, sendo assim teremos que:

γ m a x = 37,5   .     0,09599 1200 = 0,00299968

Outra coisa que podemos definir é a máxima deformação elástica que a nossa barra pode ter, e para isso podemos usar a seguinte equação:

γ e = τ e G = 145 77000 = 0,0018831

E agora podemos fazer a seguinte relação

γ e = ρ e c γ m a x

ρ e c = γ e γ m a x = 0,0018831 0,00299968 = 0,62777

Como uma das coisas pedidas é a posição que ocorre a máxima tensão residual, podemos substituir o nosso raio e assim teremos que:

ρ e c = 0,62777

ρ e 37,5 = 0,62777

ρ e = 23,54   m m

Então a posição que a tensão máxima ocorre é no raio elástico dada por   ρ e = 23,54   m m

Com esses dados podemos calcular o nosso torque que age na barra, sendo assim teremos que:

T = 4 3 T e 1 - 1 4   ρ e c 3    

T = 4 3 . 12,01 1 - 1 4 23,54 37,5 3

T = 15,02   k N m

Passo 2

Se temos o raio total e o raio elástico, podemos calcular as tensões cisalhantes na superfície e na posição do raio elástico, sendo assim teremos que:

  • ρ =   ρ e = 23,54   m m
  • τ ' ' = T ρ J

    J = π c 4 2 = π 37,5 4 2 = 3106311   m m 4

    T = 15,02   k N m = 15020000   N m m

    ρ =   ρ e = 23,54   m m

    Substituindo nas equações teremos que:

    τ ' ' = 15020000   .     23,54 3106311 = 113,82   M P a

  • ρ = c = 37,5   m m
  • τ ' ' = T ρ J

    J = π c 4 2 = π 37,5 4 2 = 3106311   m m 4

    T = 15,02   k N m = 15020000   N m m

    ρ = c = 37,5   m m

    Substituindo nas equações teremos que:

    τ ' ' = 15020000   .     37,5 3106311 = 181,32   M P a

    Passo 3

    E agora podemos calcular as tensões residuais, da seguinte maneira:

  • ρ =   ρ e = 23,54   m m (A máxima tensão residual de cisalhamento)
  • τ r e s i s d u a l   = τ e - τ ' ' = 145 - 113,82 = 31,2   M P a  

  • ρ = c = 37,5   m m (tensão residual de cisalhamento)

τ r e s i s d u a l   = τ e - τ ' ' = 145 - 181,32   = - 36,3   M P a  

A tensão residual máxima é a maior das duas acima, sendo assim teremos que:

τ r e s i s d u a l   = - 36,3   M P a  

τ r e s i s d u a l   = 36,3   M P a  

Passo 3

Se aplicarmos uma tensão contrária na estrutura, ela vai bater de frente com a tensão residual, com isso podemos dizer que a tensão contraria necessária deve seguir a seguinte estrutura.

τ 1 = τ e - τ r e s i s d u a l = 145 - 36,3 = 108,7   M P a = 108,7 N m m 2

E considerando que vamos usar o limite de escoamento, sabemos que a nossa estrutura se comportará em regime elástico, e se ela se comporta como um regime elástico, podemos usar a seguinte equação.

τ 1 = T 1 C J

T 1 = τ 1 J c = 108,7   N m m 2   .   3106311   [ m m 4 ]   37,5   m m = 9004160   N m m = 9   k N m

Agora basta calcularmos o valor do ângulo, sendo assim temos que:

Ф 1 = T 1 L G J = 9000   N m   .     1,2   m 77   .   10 9   N m 2   . 3106311   .     10 - 12 [ m 4 ] = 0,0452   R a d

Ф 1 = 0,0452     .   180 π = 2,60 °

E esse passa a ser o nosso novo ângulo no qual a estrutura irá começar a apresentar tensões residuais. Se compararmos ao caso antigo em que não havia nenhum carregamento, teríamos que:

T e = 3106311 37,5 145 = 12011069   N m m = 12011   N m = 12,01   k N m

Ф e = T e L J G = 12011   N m   .   1,2   m 3106311   .     10 - 12 m 4   .   77   .   10 9   N m 2   = 0,0603   r a d

Ф e = 0,0603     .   180 π = 3,45 °

E assim podemos ver que após o carregamento e a presença de tensões residuais, a estrutura começara a escoar em um ângulo menor dado por:

Ф 1 = 2,60 °

Resposta

Ф 1 = 2,60 °

Ф 1 = 2,60 ° < Ф e = 3,45 °

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