Enunciado

Depois do eixo maciço do Prob. 3.96 ter sido carregado e descarregado, como descrito no problema, um torque T 1 , de sentido oposto ao torque original T , é aplicado ao eixo. Considerando que o valor de τ e não varia, determinar a intensidade de T 1 , para que o escoamento se inicie neste segundo carregamento e compará-lo com a intensidade T e do torque T , que primeiro causa o escoamento, no carregamento original.

Passo 1

No item a) para descobrirmos a tensão máxima que age na nossa estrutura, precisamos antes saber a máxima tensão que a nossa estrutura suporta, e para isso a nossa fórmula é dada por:

T e = J c τ e

Sabemos pelo enunciado que:

c = D 2 = 30 2 = 15 m m

J = π c 4 2 = π 15 4 2 = 79522   m m 4

τ e = 145   M P a = 145 N m m 2

Substituindo teremos que:

T e = 79522 15 145 = 768713   N m m = 768,7   N m

Tendo o torque resistente e o torque aplicado, podemos determinar o raio elástico pela seguinte equação.

T = 4 3 T e 1 - 1 4   ρ e c 3    

Substituindo teremos que:

T = 4 3 768,7 1 - 1 4 6,25 15 3

T = 1006,4   N m

Passo 2

Se temos o raio total e o raio elástico, podemos calcular as tensões cisalhantes na superfície e na posição do raio elástico, sendo assim teremos que:

  • ρ = c = 15 m m
  • τ ' = T ρ J

    J = π c 4 2 = π 15 4 2 = 79522   m m 4

    T = 1006,4   N m = 1006400   N m m

    ρ = c = 15 m m

    Substituindo nas equações teremos que:

    τ ' = 1006400   .     15 79522 = 189,83   M P a

  • ρ =   ρ e = 6,25   m m
  • τ ' = T ρ J

    J = π c 4 2 = π 15 4 2 = 79522   m m 4

    T = 1006,4   N m = 1006400   N m m

    ρ =   ρ e = 6,25   m m

    Substituindo nas equações teremos que:

    τ ' ' = 1006400   .     6,25 79522 = 79,10   M P a

    Passo 3

    E agora podemos calcular as tensões residuais, da seguinte maneira:

  • ρ =   ρ e = 6,25   m m (A máxima tensão residual de cisalhamento)
  • τ r e s i s d u a l   = τ e - τ ' ' = 145 - 79,10 = 65,9   M P a  

  • ρ = c = 15 m m (A tensão residual de cisalhamento na superfície do eixo)

τ r e s i s d u a l   = τ e - τ ' = 145 - 189,83 = - 44,8   M p a  

A tensão residual que usamos é a que possui o raio da estrutura, sendo assim temos que:

τ r e s i s d u a l   = - 44,8   M p a  

Em modulo teremos que:

τ r e s i s d u a l   = 44,8   M p a  

Passo 3

Se aplicarmos uma tensão contrária na estrutura, ela vai bater de frente com a tensão residual, com isso podemos dizer que a tensão contraria necessária deve seguir a seguinte estrutura.

τ 1 = τ e - τ r e s i s d u a l = 145 - 44,8 = 100,2 M P a = 100,2 N m m 2

E considerando que vamos usar o limite de escoamento, sabemos que a nossa estrutura se comportará em regime elástico, e se ela se comporta como um regime elástico, podemos usar a seguinte equação.

τ 1 = T 1 C J

T 1 = τ 1 J c = 100,2   N m m 2   .   79522   [ m m 4 ]   15   m m = 531207   N m m = 531   N m

Temos que a tensão residual é dada por:

T e = 79522 15 145 = 768713   N m m = 769   N m

E assim podemos ver que após o carregamento e a presença de tensões residuais, a estrutura começara a escoar com um torque menor dado por:

T 1 = τ 1 J c = 100,2   N m m 2   .   79522   [ m m 4 ]   15   m m = 531207   N m m = 531   N m

Resposta

T 1 = 531   N m

T 1 = 531 < T e = 769

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