Enunciado

O eixo maciço tem conicidade linear de r A em uma extremidade e r B na outra extremidade. Deduza uma equação que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo.

Passo 1

Um eixo no formato de tronco de cone sofre um torque T .

Queremos uma expressão para a tensão máxima de cisalhamento em função da posição x .

Vamos precisar da fórmula da torção:

τ = T   r J

Características do eixo:

  • Raio maior: r M .
  • Raio menor: r m .
  • Momento polar de inércia em uma seção com raio r: J = π r 4 / 2 .
  • Comprimento do eixo: L .

Considere todos esses caras como conhecidos!

Nossa meta é deixar a tensão máxima τ M em função de x ! A tensão máxima sempre ocorre na borda do eixo!

Passo 2

Como queremos fazer τ em função de x , vamos deixar cada termo na fórmula em função de x !

O torque T é constante, então desencana dele!O momento polar de inércia depende do raio da seção transversal, que é a outra letra da fórmula! Então precisamos deixar o raio em função de x !

Olha a figura que vai ficar tudo claro. Só escolhe uma distância x para uma seção que vai ter raio r e dá nome aos bois com o que a gente sabe: L ,   r m e r M .

Agora é só fazer semelhança de triângulos (ou usa a tangente do ângulo ali).

O raio em função de x fica como

r ( x ) = r m + r M - r m L ( L - x )

Passo 3

Agora vamos substituir na fórmula pra tensão!

τ M = T   r J       →         τ M = T   r π r 4 / 2

τ M = 2 T π   r 3

r = r m + r M - r m L L - x     →         τ M = 2   T π ( r m + r M - r m L ( L - x ) ) ^ 3

τ M = 2 T L 3 π r m x + r M L - x 3

Resposta

Tensão máxima:

τ M = 2 T L 3 π r m x + r M L - x 3

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