Enunciado

Um eixo vazado de diâmetro interno e externo iguais a 20 m m   e   50 m m , respectivamente, é fabricado de uma liga de alumínio, cujo diagrama τ - γ é mostrado. Determinar:

  1. O torque necessário para torcer um eixo de 600 m m de comprimento, de um ângulo de 10°.
  2. O correspondente valor da máxima tensão de cisalhamento.

Passo 1

Pelos dados que o enunciado nos dá temos que:

Ф = 10 ° = 10 π 180 = 0,17453

L = 600 m m = 0,600 m

c 1 = 1 2 D 1 = 20 2 = 10 m m = 0,010   m

c 2 = 1 2 D 2 = 50 2 = 25 m m = 0,025   m

Com isso podemos determinar as máximas deformações especificas cisalhantes, com isso teremos que:

γ m a x = c 2 Ф L = ( 25 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,007272

γ m i n = c 1 Ф L = ( 10 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,002909

Sabemos que a fórmula da nossa deformação especifica cisalhante é dada por:

γ = ρ c γ m a x

E podemos definir uma razão Z pela seguinte fórmula:

Z = γ γ m a x = ρ c 2

E também podemos escrever essa fórmula da seguinte maneira:

Z 1 = c 1 c 2 = 10 25 = 2 5

Mas poque marcamos isso? Porque sabemos que a nossa fórmula para determinação do torque, quando temos uma curva indefinida, é dada pela seguinte fórmula:

T = 2 π ∫ c 1 c 2 ρ 2 τ   d ρ

Se colocarmos a nossa razão Z na equação, teremos a seguinte relação:

ρ = Z c 2

Substituindo na equação teremos que:

T = 2 π ∫ c 1 c 2 ( Z c 2 ) 2 τ   d ρ

Que na equação passará a ser:

T = 2 π ∫ c 1 c 2 Z 2 c 2 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ c 1 c 2 Z 2 τ   d ρ

Agora a nossa variável passa a ser Z, sendo assim teremos que mudar a variável, e basta derivarmos a seguinte equação.

ρ = Z c 2

d ρ = c 2 d Z

Substituindo teremos que:

T = 2 π c 2 2 ∫ c 1 c 2 Z 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 2 ∫ c 1 c 2 Z 2 τ   ( c 2 d Z )

Lembrando que ρ é a variação do raio c 1 até o raio c 2 , e que a variação do fator Z é feito da seguinte maneira:

Z = ρ c 2   e   Z 1 = c 1 c 2

Se dividirmos as variações da integral por c 2 , teremos que:

T = 2 π c 2 3 ∫ c 1 c 2 c 2 c 2 Z 2 τ   d Z = 2 π c 2 3 ∫ Z 1 1 Z 2 τ   d Z

E já sabemos que pelo cálculo que fizemos antes temos que:

Z 1 = c 1 c 2 = 10 25 = 2 5

Assim teremos que:

T = 2 π c 2 3 ∫ 2 5 1 Z 2 τ   d Z

E podemos definir que:

I = ∫ 2 5 1 Z 2 τ   d Z

Que simplificando a equação teremos que:

T = 2 π c 2 3 I

Porém, vou te ensinar um macete, resolver a nossa integral I seria muito complicado, além do mais, não conhecemos a nossa curva, e não sabemos a sua fórmula, por isso podemos macetear a nossa integral usando um conceito de solução numérica, ou seja, vamos usar uma solução aproximada para o nosso problema, e com isso usaremos um conceito de fórmula de Simpson para isso. Não vale apena entendermos todo o processo para chegar nela, até porque isso seria mais uma questão inteira a ser resolvida, mas como um passe de magica podemos aceitar que a nossa integral pode ser simplificada de seguinte maneira.

I = ∫ 2 5 1 Z 2 τ   d Z ≅ ∆ Z 3 ∑ W Z 2 τ

Sabemos que ∆ Z é de quanto em quanto queremos que o nosso fator Z seja analisado, sabemos que Z varia de 2 5 até 1, então para facilitarmos, vamos definir que a variação vai ser feita pelo seguinte valor:

∆ Z = 0,15

Outra coisa que precisamos saber antes de continuar é que o W são fatores de multiplicação que valem o seguinte:

W = 1   v a l o r e s   e x t r e m o s

W = 4   v a l o r e s   e m   p o s i ç õ e s   i m p a r e s

W = 2   v a l o r e s   e m   p o s i ç õ e s   p a r e s

Sendo assim podemos montar uma tabela que será dada por:

Para determinarmos a deformação, e em seguida determinarmos as tensões, devemos usar a seguinte relação:

Z = γ γ m a x

Em que sabemos que:

γ m a x = c 2 Ф L = ( 25 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,007272

Substituindo para cada um dos itens teremos que:

0,40 = γ 0,007272 → γ = 0,003  

0,55 = γ 0,007272 → γ = 0,004  

0,70 = γ 0,007272 → γ = 0,005

0,85 = γ 0,007272 → γ = 0,006

1,00 = γ 0,007272 → γ = 0,007

E agora podemos determinar o resto da tabela, a partir das deformações, podemos determinar as tensões da seguinte maneira.

Vale lembrar que a nossa fórmula de Simpson é dada pela seguinte equação:

I ≅ ∆ Z 3 ∑ W Z 2 τ

E o que acabamos de determinar foi:

∑ W Z 2 τ = 690,4

Substituindo tudo teremos que:

I ≅ 0,15 3 690,4 = 34,52   M P a

E depois disso tudo conseguimos enfim determinar o nosso item A), que é exatamente o valor do nosso torque:

T = 2 π c 2 3 I = 2 π . ( 25 [ m m ] ) 3 . 34,52 N m m 2 = 3388993   N m m = 3,40   k N m

Passo 2

O item B) precisamos determinar a deformação máxima especifica cisalhante da nossa peça, e para isso o enunciado nos ajuda com alguns dados. Sabemos que a fórmula que vai nos ajudar é dada por:

γ m a x = c Ф L

Mas já calculamos esse valor:

γ m a x = c 2 Ф L = ( 25 ) ( 0,17453 ) 600 = 0,007272 ≅ 0,007

Substituindo no nosso gráfico teremos que:

τ = 12 8   M P a

Resposta

T = 3,40   k N m

τ = 12 8   M P a

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