Enunciado

A curva mostrada na F i g .   P 3.89 e F i g .   P 3 . 92 pode ser aproximada pela relação:

τ = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

Usando esta relação e as equações (3.2) e (3.26) resolver o problema indicado.

Passo 1

Pelos dados que o enunciado nos dá temos que:

γ m a x = 0,008

L = 750 m m = 0,750 m

c = 1 2 D = 40 2 = 20 m m = 0,020   m

E as equações que o enunciado menciona são dadas por:

  • Equação (3.2)
  • γ = ρ Ф L

    γ m a x = c Ф L

  • Equação (3.26)

T = 2 π ∫ 0 c ρ 2 τ   d ρ

Sabemos que a fórmula da nossa deformação especifica cisalhante é dada por:

γ = ρ c γ m a x

E podemos definir uma razão Z pela seguinte fórmula:

Z = γ γ m a x = ρ c

Mas poque marcamos isso? Porque sabemos que a nossa fórmula para determinação do torque, quando temos uma curva indefinida, é dada pela fórmula 3.26:

T = 2 π ∫ 0 c ρ 2 τ   d ρ

Se colocarmos a nossa razão Z na equação, teremos a seguinte relação:

ρ = Z c

Substituindo na equação teremos que:

T = 2 π ∫ 0 c ( Z c ) 2 τ   d ρ

Que na equação passará a ser:

T = 2 π ∫ 0 c Z 2 c 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   d ρ

Agora a nossa variável passa a ser Z, sendo assim teremos que mudar a variável, e basta derivarmos a seguinte equação.

ρ = Z c

d ρ = c d Z

Substituindo teremos que:

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   d ρ

T = 2 π c 2 ∫ 0 c Z 2 τ   ( c d Z )

Lembrando que ρ é a variação do raio, e que C é o raio máximo, então sabemos que a razão

Z = ρ c

Varia entre 0 e 1, sendo assim podemos mudar a variação da integral que para ρ variava de 0 até C, sendo assim teremos que:

T = 2 π c 3 ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z

Sabemos que o enunciado já nos dá uma equação, mas que podemos escrever o seguinte:

τ = B γ + C γ 2

Como temos uma equação dada por:

Z = γ γ m a x

Podemos escrever a seguinte equação:

γ = Z γ m a x

Substituindo na nossa equação da tensão cisalhante teremos que:

τ = B Z γ m a x + C ( Z γ m a x ) 2

τ = B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2

Como no nosso enunciado temos uma equação de tensão cisalhante, podemos comparar as duas da seguinte maneira:

τ = B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2

τ = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2 = 27,8   x   10 9   γ - 1,390   x   10 12   γ 2

B = 27,8   x   10 9

C = - 1,390   x   10 12

Substituindo na nossa integral teremos que:

T = 2 π c 3 ∫ 0 1 Z 2 τ   d Z

T = 2 π c 3 ∫ 0 1 Z 2 ( B Z γ m a x + C Z 2 γ m a x 2 )   d Z

T = 2 π c 3 ∫ 0 1 Z 3 B γ m a x + C Z 4 γ m a x 2   d Z

T = 2 π c 3 ( Z 4 4 B γ m a x + Z 5 5 C γ m a x 2 ) 1 0

T = 2 π c 3 ( 1 4 4 B γ m a x + 1 5 5 C γ m a x 2 )

Sabemos que:

c = 20 m m = 0,020

γ m a x = 0,008

B = 27,8   x   10 9

C = - 1,390   x   10 12

T = 2 π 0,020 3 1 4 27,8   x   10 9 0,008 + 1 5 - 1,390   x   10 12 0,008 2

T = 1900   N m = 1,9   k N m

Passo 2

O item B) já nos pede o ângulo de torção para a nossa barra, para isso temos que lembrar que a nossa fórmula é dada por:

γ = ρ Ф L

Como queremos a deformação angular máxima temos que:

γ = γ m a x = 0,008   e   ρ = C = 20 m m

E pelo enunciado temos que:

L = 750   m m

Como o objetivo é a determinação da deformação angular, podemos fazer o seguinte cálculo:

Ф = γ L C = 0,008   .   750 20 = 0,3   r a d

Ф = 0,3   .   180 π = 17,19 °

Resposta

T = 1,9   k N m

Ф = 17,19 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma barra de alumínio de 40mm de diâmetro está sujeita a um torque que produz na barra uma deformação especifica de cisalhamento de 0,008. Usando o diagrama τ - γ mostrado, para esta liga de alumínio,
Uma barra maciça de latão de 30 m m de diâmetro está sujeita a um torque que produz uma tensão de cisalhamento máxima de 93M p a na barra. Usando o diagrama τ - γ mostrado para o latão usado, determin
Uma barra maciça de latão de 20m m de diâmetro e 760m m de comprimento é torcida de um ângulo de 10°. Usando o diagrama τ - γ mostrado para o latão em questão, determinar:A intensidade do torque aplic
Um eixo vazado de diâmetro interno e externo iguais a 20 m me50 m m , respectivamente, é fabricado de uma liga de alumínio, cujo diagrama τ - γ é mostrado. Determinar:O torque necessário para torcer u