Enunciado

O elemento consiste em dois canais U de plástico com 12 mm de espessura colados em A e B. Se a cola puder suportar uma tensão de cisalhamento admissível de τ a d m = 4,2   M P a , determine a intensidade máxima de w 0 do carregamento distribuído triangular que pode ser aplicado ao elemento tomado como base a resistência da cola

Passo 1

Faaala aí!

Esses são os dados da questão: τ a d m c o l a = 4,2   M P a ,   t = 12 m m ,   L = 4 m

A questão pede o maior carregamento possível na viga: w 0

Estratégia de resolução: Primeiro vamos calcular as reações de apoio, e determinar o ponto onde o esforço interno é máximo.

Depois calculamos o momento de inércia e o momento estático da região de interesse. Como a seção é perfeitamente simétrica, não é preciso calcular o centroide.

Por fim, usamos a equação de tensão de cisalhamento para calcular o carregamento máximo sobre a viga.

Vem ver como fica!

Passo 2

Como o carregamento é perfeitamente simétrico, sabemos que:

R A = R B

Aplicando a equação de equilíbrio:

∑ F y = 0 ⇒ R A + R B - L ⋅ w 0 2 = 0

R A = w 0 L 4

Passo 3

Agora calculamos o gráfico de esforço cortante utilizando o método gráfico

A gente vai calcular os valores do cortante nos pontos A ,   B e C .

A v e r d e = L 2 ⋅ w 0 ⋅ 1 2 = w 0 L 4

A l a r a n j a = L 2 ⋅ w 0 ⋅ 1 2 = w 0 L 4

V A = R A ⇒ V A = w 0 L 4

V C = R A - A v e r d e ⇒ V C = 0

V B = R A - A v e r d e - A l a r a n j a ⇒ V B = - w 0 L 4

Como nosso carregamento é linear em A B e em B C , o diagrama precisa estar num grau a mais, então ele precisa ser uma parábola em A B e em B C . Aí então ligamos esses pontos que a gente achou por parábolas.

O gráfico resultante é:

A maior força interna ocorre no ponto A

V m a x = w 0 L 4

Passo 4

Agora vamos calcular o momento de inércia de toda a figura. Para isso basta calcular como se a estrutura fosse maciça e depois subtrair o valor da região vazada:

I = 150 ⋅ 150 3 12 - 126 ⋅ 126 3 12 = 21,18 ⋅ 10 6 m m 4

I = 21,18 ⋅ 10 - 6   m 4

Passo 5

Agora vamos calcular o momento estático de uma região que tenha contato com a cola. A região escolhida está em destaque abaixo.

Para escolher a região de Q cê pode imaginar assim: eu quero ver o cisalhamento na região da cola. Se eu segurar uma das metades da seção e tirar a cola, que parte da seção fica na minha mão? Se você segurou em cima, seria a parte sombreada né?

Aí a gente precisa calcular o centroide dessa região.

y - ' = 2 63 ⋅ 12 ⋅ 31.5 + 150 ⋅ 12 ⋅ 69 2 ⋅ 63 ⋅ 12 + 150 ⋅ 12 = 51,88 ⋅ 10 - 3 m

Q = y - ⋅ A Q = 51,88 ⋅ 10 - 3 ⋅ 2 ⋅ 63 ⋅ 12 + 150 ⋅ 12 ⋅ 10 - 6 = 1,718 ⋅ 10 - 4

Passo 6

A tensão na região da cola é:

τ = V Q I ⋅ 2 t

Repara que a gente usou 2 t porque temos dois lugares de espessura t em contanto com a outra metade da seção através da cola.

τ =   w 0 L 4 ⋅ Q I ⋅ 2 t

Isolando w 0

w 0 = 8 τ ⋅ I ⋅ t L ⋅ Q

Substituindo os valores:

w 0 = 8 ⋅ 4,2 ⋅ 10 6 P a ⋅ 21,18 ⋅ 10 - 6   m 4 ⋅ 0,012   m 4 m ⋅ 171828 ⋅ 10 - 9 m 3

w 0 = 12,4 k N m

Prontinho!

Obs: O gabarito nessa está com um errinho, beleza?

Resposta

w 0 = 12,4 k N m

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