Enunciado

O elemento de volume Δ V do cone circular de altura h e base de raio r é formado cortando-se um elemento fino do cone a uma distância x do vértice. Se o elemento cortado tiver uma espessura finita Δ x , mostre que seu volume Δ V vale π r 2 / h 2 x 2 Δ x + x Δ x 2 + 1 3 Δ x 3 . (Lembre-se da equação do volume de um cone.) Explique o que acontece ao segundo e terceiro termos quando Δ x se torna o infinitesimal d x .

Passo 1

Por razão de semelhança nos dois cones da figura, temos:

y x = r h

y x = r h x

Lembre-se de que o volume de um cone é dado por:

V = 1 3 π R 2 H

Então, conforme o desenho, o volume de um cone de altura x e raio da base y é calculado assim:

V = 1 3 π y 2 x

V x = 1 3 π r h x 2 x

V x = 1 3 π r 2 h 2 x 3

Passo 2

Para calcular Δ V , devemos subtrair os volumes dos cones de altura x e x + Δ x :

Δ V = V x + Δ x + V x

Δ V = 1 3 π r 2 h 2 x + Δ x 3 - 1 3 π r 2 h 2 x 3

Δ V = 1 3 π r 2 h 2 x + Δ x 3 - x 3

Δ V = 1 3 π r 2 h 2 x 3 + 3 x 2 Δ x + 3 x Δ x 2 + Δ x 3 - x 3

Δ V = 1 3 π r 2 h 2 3 x 2 Δ x + x Δ x 2 + 1 3 Δ x 3

Δ V = π r 2 h 2 x 2 Δ x + x Δ x 2 + 1 3 Δ x 3

Passo 3

Quando tomamos o limite Δ x → d x , os termos de ordem mais alta se anulam, de modo que:

d V = π r 2 h 2 x 2   d x

Resposta

O segundo e terceiro termos se anulam:

d V = π r 2 h 2 x 2   d x

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