Enunciado

O elevador E tem uma massa de 3000 kg quando totalmente carregado e está ligado pelo modo mostrado na figura, a um contrapeso W de massa 1000 kg. Determine a potência em kW entregue pelo motor (a) quando o elevador estiver movendo-se para baixo a uma velocidade constante de 3 m/s e (b) quando ele tiver uma velocidade de 3 m/s para cima e uma desaceleração de 0,5   m / s 2 .

Passo 1

Vamos lá! Vamos começar a questão pela letra a), que é bem fácil.

Aqui sabemos que o elevador está descendo a uma velocidade constante. Por causa disto, a potência do motor pode ser calculada através da seguinte equação:

P = F v c

Em que v c é a velocidade da corda C que é puxado pelo moto e F é a força do motor. Mas qual é esta força? Precisamos obtê-la! Para isto, será fundamental fazermos o diagrama de corpo livre do elevador E . Desta forma, temos:

Sendo T W a tração que puxa o contrapeso W (que é igual ao peso, pois esse não acelera) e P e o peso do elevador. Então, como o elevador possui aceleração nula (velocidade constante), temos:

∑ F y = 0

P e - 2 F - T W = 0

F = P E - T W 2 = m E - m W g 2 = 3000 - 1000 ⋅ 9,81 2 = 9 , 81   k N

Passo 2

Para finalizarmos a letra a), vamos ter que calcular a velocidade da corda C . Pela geometria do problema (jogo de polias), se o elevador desce um comprimento x , então é puxado um comprimento de x / 2 da corda C .

Assim, podemos afirmar que a velocidade da corda C é:

v e = v c 2 ⟹ v c = 2 v e = 6   m / s

E agora já podemos calcular a potência do motor, a qual será:

P = 9,81 ⋅ 6 = 58,86   k W

Passo 3

Agora vamos para a letra b). Aqui o procedimento é bastante semelhante.

A princípio, a grande diferença é que o elevador se desloca para cima, mas com uma desaceleração de 0,5   m / s 2 (aceleração para baixo). Portanto, ao fazermos o somatório das forças, não será igual a zero.

Já o resto deverá ser o mesmo (calcular a força F e multiplicar pela velocidade de 3 m/s).

Mas calma, muita calma nessa hora. Para a letra b) o contrapeso também está em aceleração, a qual é 0,5   m / s 2 só que para cima! Portanto, a tração T W será:

T W - P W = m W a

T W = m w a + g = 1000 0,5 + 9,81 = 10310   N

Agora sim podemos calcular a força F . Portanto,

∑ F y = m e a

P e - 2 F - T W = 3000 ⋅ 0,5

F = P E - T W - 1500 2 = m E g - T W - 1500 2 = 3000 ⋅ 9,81 - 10310 - 1500 2 = 8,81   k N

Como a velocidade continua a mesma em módulo, então, a potência será:

P = 8,81 ⋅ 6 = 5 2 , 86   k W

E assim finalizamos a questão.

Resposta

  1. P = 58,86   k W

P = 8,81 ⋅ 6 = 52,86   k W

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