Enunciado

Encontre o comprimento total L do cabo que terá a configuração mostrada quando suspenso nos pontos A e B.

Passo 1

Primeiro, vamos desenhar o diagrama de corpo livre do cabo. Observe que o início do sistema de coordenadas está no ponto mais baixo do cabo, que está posicionado na distância l à esquerda do ponto B.

A partir do esboço abaixo, podemos ver que as coordenadas dos pontos A e B são:

A l - 40 ; 14

e

B l , 6

Passo 2

Usando a expressão (5/20), podemos escrever o comprimento do cabo do início da coordenada ao ponto A e ao ponto B como:

s A = T 0 μ sinh ⁡ l - 40 μ T 0 = T 0 μ sinh ⁡ l - 40 T 0 μ

S B = T 0 μ sinh ⁡ l μ T 0 = T 0 μ sinh ⁡ l T 0 μ

E o comprimento total do cabo é igual à soma dessas duas partes.

L = s A + s B

L = T 0 μ sinh ⁡ l - 40 T 0 μ + sinh ⁡ l T 0 μ

Passo 3

Observe que na equação (1) a razão T0/ μ é desconhecida, que podemos determinar a partir da expressão (5/19)

y = T 0 μ cosh ⁡ μ x T 0 - 1

⇒                   y = T 0 μ cosh ⁡ x T 0 μ - 1

Coloque as coordenadas do ponto A na equação

40 = T 0 μ cosh ⁡ l - 200 T 0 μ - 1                   ( A )

Coloque as coordenadas do ponto A na equação

10 = T 0 μ cosh ⁡ l T 0 μ - 1                   ( B )

Passo 4

Usando uma calculadora gráfica como o Desmos (link nos comentários), vamos representar graficamente as funções (A) e (B) e ler o valor de T 0 μ e l que satisfaz ambas as equações do ponto de intersecção

Observe que você precisará ampliar o gráfico para poder ler as coordenadas do ponto de intersecção

T 0 μ = 22.46

l = 16.07

Finalmente, vamos substituir T 0 μ por seu valor na equação (1)

μ = 75000 227.02 + 40

μ = 280.88 N m

Passo 5

Vamos transferir isso para k g m

μ = 1 9.81 280.88 kg m = 28.63 kg m

Um dito na etapa 2, μ se refere à massa do cabo mais a massa do gelo por metro, então a massa do gelo por metro é

ρ = μ - μ C

Substitua μ e μ C por seus valores

ρ = 28.63 - 20

Finalmente, obtemos que a massa máxima por metro de gelo que o cabo pode suportar é

ρ = 8.63 kg m

Resposta

ρ = 8.63 kg m

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