Enunciado

Uma esfera D de 100 g está em repouso em relação a um tambor que gira a uma taxa constante. Desprezando o atrito, determine o intervalo admissível da velocidade v da esfera se nenhuma das forças exercidas pela esfera na superfície inclinada do tambor deve exceder 1,1 N.

Passo 1

O enunciado pede que a gente encontre o intervalo admissível da velocidade v da esfera se nenhuma das forças exercidas pela esfera na superfície inclinada do tambor deve exceder 1,1 N.

Primeiro notamos

a D = a n = v D 2 ρ

onde

ρ = 0.2   m

← + Σ F x = m D a D :         N 1 cos ⁡ 60 ° + N 2 cos ⁡ 20 ° = m D v D 2 ρ

+ ↑ Σ F y = 0 :       N 1 sin ⁡ 60 ° + N 2 sin ⁡ 20 ° - w D = 0

ou

N 1 sin ⁡ 60 ° + N 2 sin ⁡ 20 ° = m D g

Passo 2

Caso 1: N1 é máximo.

Seja

N 1 = 1.1   N

Eq (2)

1.1   N sin ⁡ 60 ° + N 2 sin ⁡ 20 ° = 0.1   kg 9.81   m/ s 2

ou

N 2 = 0.082954   N

( N 2 ) ( N 1 ) max < 1.1   N.    O.K.

Eq. (1)

( v D 2 ) ( N 1 ) max = 0.2   m 0.1   kg 1.1 cos ⁡ 60 ° + 0.082954 cos ⁡ 20 °   N

ou

( v D ) ( N 1 ) max = 1.121   m/s

Agora nós formamos

sin ⁡ 20 ° 1 - cos ⁡ 20 ° 2

N 1 cos ⁡ 60 ° sin ⁡ 20 ° - N 1 sin ⁡ 60 ° cos ⁡ 20 ° = m D v D 2 ρ sin ⁡ 20 ° - m D g cos ⁡ 20 °

ou

- N 1 sin ⁡ 40 ° = m D v D 2 ρ sin ⁡ 20 ° - m D g cos ⁡ 20 °

( v D ) min   ocorre quando   N 1 = ( N 1 ) max

( v D ) min   = 1.121   m/s

Passo 3

Caso 2: N2 é máximo.

Seja

N 2 = 1.1   N

Eq (2)

N 1 sin ⁡ 60 ° + 1.1   N sin ⁡ 20 ° =   ⁡ 0.1   kg 9.81   m/ s 2

N 1 = 0.69834   N

( N 1 ) ( N 2 ) max < 1.1   N.    O.K.

Eq. (1)

( v D 2 ) ( N 2 ) max = 0.2   m 0.1   kg 0.69834 cos ⁡ 60 ° + 1.1 cos ⁡ 20 °   N

ou

( v D ) ( N 2 ) max = 1.663   m/s

Agora nós formamos

sin ⁡ 60 ° 1 - cos ⁡ 60 ° 2

N 2 cos ⁡ 20 ° sin ⁡ 60 ° - N 2 sin ⁡ 20 ° cos ⁡ 60 ° = m D v D 2 ρ sin ⁡ 60 ° - m D g cos ⁡ 60 °

ou

N 2 cos ⁡ 40 ° = m D v D 2 ρ sin ⁡ 60 ° - m D g cos ⁡ 60 °

( v D ) max   ocorre quando   N 2 = ( N 2 ) max

( v D ) max   = 1.663   m/s

Para  N 1 , N 2 ≤ 1.1   N

Resposta

1.121   m/s ≤ v D ≤ 1.663   m/s

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