Enunciado

Uma espaçonave de 1000   k g está viajando no espaço profundo com uma velocidade v e = 2000   m / s quando um meteoro de 10   k g se deslocando com uma velocidade v m de módulo 5000   m / s na direção mostrada colide e se prende à espaçonave. Determine a velocidade final v do centro de massa G da espaçonave. Calcule o ângulo β entre v → e a velocidade inicial v → 0 da espaçonave.

Passo 1

Pela conservação de momento linear:

m m v → m + m e v → e = m m + m e v →

Vamos escrever os dois vetores velocidade. Começando pela espaçonave:

v → e = v e   j ^

A velocidade do metoro é um pouco mais complicada. Vamos começar calculando o vetor unitário na direção mostrada na figura:

v ^ = 5   i ^ - 4   j ^ - 2 k ^ 25 + 16 + 4

E a velocidade do metoro é simplesmente o módulo v m = 5000   m / s multiplicado por esse vetor unitário:

v → m = 500 5   i ^ - 4   j ^ - 2 k ^ 25 + 16 + 4  

Passo 2

E agora é só substituir na nossa equação:

m m v → m + m e v → e = m m + m e v →

( 10 ) ( 5000 ) 5   i ^ - 4   j ^ - 2 k ^ 25 + 16 + 4   + 1000 2000 j ^ = 1010 v →

E agora é só resolver essa equação para encontrar v → :

1010   v → = ( 10 ) 3726,7   i ^ - 2981,4   j ^ - 1490,7   k ^ + 2.10 6   j ^

v → = 36,9   i ^ + 1951   j ^ - 14,76   k ^   m / s

Passo 3

Agora falta calcular o ângulo β entre v → e a velocidade inicial v → 0 . Para calcular o ângulo entre dois vetores, é útil lembrar da fórmula para o produto interno:

v → ∙ v → 0 = v v 0 cos ⁡ β  

Começamos então calculando o produto interno:

v → = 36,9   i ^ + 1951   j ^ - 14,76   k ^

v → 0 = 2000   j ^

E então:

v → ∙ v → 0 = 3,902   .   10 6

E os módulos são:

v = 36,9 2 + 1951 2 + 14,76 2 = 1951,4   m / s

v 0 = 2000   m / s

Agora é só substituir na fórmula:

cos ⁡ β = v → ∙ v → 0 ( v ) ( v 0 )

cos ⁡ β = 3,902   .   10 6 ( 1951,4 ) ( 2000 ) = 0,999795019

β ≅ 1,16 °

Resposta

A velocidade final da espaçonave é v → = 36,9   i ^ + 1951   j ^ - 14,76   k ^   m / s e o ângulo β mede 1,16 ° .

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