Enunciado

O estado plano de tensão mostrado ocorrerá em um ponto crítico em um tubo feito de uma liga de alumínio para a qual σ L T = 75   M P a e σ L C = 150   M P a . Usando o critério de Mohr, determine a tensão de cisalhamento τ 0 para a qual se espera que ocorra a falha.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar o critério de Mohr para materiais frágeis conforme visto na fig 7.38 nessa seção, onde temos o envoltório seguro, e se o ponto cair fora dele, quer dizer que temos ruptura. Para saber se o ponto está ou não dentro do envoltório, usaremos a seguinte relação:

σ a σ L T - σ b σ L C

Essa é a equação da reta no 4º quadrante da fig 7.38, em que σ a é a tensão em um extremo do círculo de Mohr (tensão máxima) e σ b é a tensão no outro extremo (tensão mínima). Então, se o valor encontrado nessa relação for maior que 1, quer dizer que o ponto está fora do envoltório e haverá ruptura, do contrário, a condição é segura.

Para calcular os σ , precisamos da tensão média e do raio do círculo de Mohr. Só que no nosso caso queremos descobrir a tensão de cisalhamento para a qual se espera que ocorra falha. Então, vamos escrever as tensões σ e o raio do círculo de Mohr em função da tensão de cisalhamento e depois igualar a equação mostrada à 1, para encontrar a tensão de cisalhamento no caso limite. Então vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar escrevendo as tensões que temos do elemento diferencial:

σ x = - 80   M P a

σ y = 0   M P a

τ x y = - τ 0

Agora vamos escrever a equação que nos dá o raio do círculo de Mohr

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = ( - 80 ) - 0 2 2 + - τ 0 2 → R = 40 2 + τ 0 2

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = - 80 + 0 2 → σ m e d = - 40   M P a

Passo 3

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

σ a = σ m e d + R = - 40 + 40 2 + τ 0 2

σ b = σ m e d - R = - 40 - 40 2 + τ 0 2

Agora podemos utilizar a equação que vimos lá no passo 1, onde temos:

σ a σ L T - σ b σ L C

Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima, teremos:

- 40 + 40 2 + τ 0 2 75 - - 40 - 40 2 + τ 0 2 150 = 1

- 40 75 + 40 2 + τ 0 2 75 + 40 150 + 40 2 + τ 0 2 1 5 0 = 1

40 2 + τ 0 2 1 75 + 1 1 5 0 = 1,3 05

40 2 + τ 0 2 = 63,333 → τ 0 = 49,1   M P a

Shoow! Terminamos mais um exercício.

Resposta

τ 0 = 49,1   M P a

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Para o estado plano de tensões indicado, determine o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é 80M P a .
Para o estado plano de tensões indicado, determine o intervalo de valores de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é igual ou menor que 60M P a .
Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .
Para o estado de tensão indicado, determine o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é (a) 9k s i e (b) 12k s i .
Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .