Enunciado

A barra de alumínio fundido indicada na figura é feita de uma liga para a qual σ L T = 70   M P a e σ L C = 175   M P a . Sabendo que a intensidade T dos torques aplicados está crescendo lentamente e usando o critério de Mohr, determine a tensão de cisalhamento τ 0 que se espera no momento da ruptura.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos utilizar o critério de Mohr para materiais frágeis conforme visto na fig 7.38 nessa seção, onde temos o envoltório seguro, e se o ponto cair fora dele, quer dizer que temos ruptura. Para saber se o ponto está ou não dentro do envoltório, usaremos a seguinte relação:

σ a σ L T - σ b σ L C

Essa é a equação da reta no 4º quadrante da fig 7.38, em que σ a é a tensão em um extremo do círculo de Mohr (tensão máxima) e σ b é a tensão no outro extremo (tensão mínima). Então, se o valor encontrado nessa relação for maior que 1, quer dizer que o ponto está fora do envoltório e haverá ruptura, do contrário, a condição é segura.

Para calcular os σ , precisamos da tensão média e do raio do círculo de Mohr. Só que no nosso caso queremos descobrir a tensão de cisalhamento para a qual se espera que ocorra falha. Então, vamos escrever as tensões σ e o raio do círculo de Mohr em função da tensão de cisalhamento e depois igualar a equação mostrada à 1, para encontrar a tensão de cisalhamento no caso limite. Então vamos nessa!

Passo 2

Vamos começar escrevendo as tensões que temos para o nosso caso. Como temos somente o torque aplicado, só haverá o cisalhamento gerado por ele, sendo assim:

σ x = 0   M P a

σ y = 0   M P a

τ x y = τ 0

Agora vamos escrever a equação que nos dá o raio do círculo de Mohr

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = ( 0 ) - 0 2 2 + τ 0 2 → R = τ 0

Agora vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = 0 + 0 2 → σ m e d = 0   M P a

Passo 3

Agora, com os valores da tensão média e do raio do círculo, podemos calcular os valores das tensões nos pontos A e B, onde temos:

σ a = σ m e d + R = 0 + τ 0 → σ a = τ 0

σ b = σ m e d - R = 0 - τ 0 → σ b = - τ 0

Agora podemos utilizar a equação que vimos lá no passo 1, onde temos:

σ a σ L T - σ b σ L C

Então, substituindo os valores conhecidos na equação acima, teremos:

τ 0 70 - - τ 0 175 = 1

τ 0 1 70 + 1 175 = 1 → τ 0 = 50   M P a

Shoow! Terminamos mais um exercício.

Resposta

τ 0 = 50   M P a

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