Enunciado

O estado plano de tensões mostrado ocorre em uma barra feita de uma classe de aço, com uma resistência ao escoamento na tração de 240   M P a . Determinar o coeficiente de segurança, em relação ao escoamento, usando: (a) o critério da máxima tensão de cisalhamento; (b) o critério da máxima energia de distorção.

Passo 1

Todos nós sabemos que existe um limite de carga para que as estruturas mecânicas não caiam em nossas cabeças. Esse limite é dado pela tensão aplicada a uma certo ponto da estrutura e pode ser definido segundo diversos critérios. Neste problema vamos utilizar dois deles o da máxima tensão de cisalhamento e o da máxima energia de distorção.

O critério da máxima tensão de cisalhamento é dado da seguinte forma:

τ m á x = 1 2 ⋅ σ m á x - σ m í n

Enquanto o critério da máxima energia de distorção é dado como:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

Onde o valor do resultado dessa raíz quadrada deve estar dentro do limite fornecido no problema (normalmente a tensão limite de escoamento a tração σ e ).

Mas essa questão não pede para ver se ocorrerá ou não ruptura, pede para calcular o coeficiente de segurança. E o que é isso? Coeficiente de segurança é um valor que diz quantas vezes a estrutura pode suportar a tensão máxima. Por exemplo, matar um mosquito com uma bazuka representa um alto coeficiente de segurança de que o mosquito vai morrer =D e isso é calculado como a razão entre a tensão de escoamento sobre a tensão máxima atuante no projeto (aquela que vem dos dois critérios já citados).

C S = σ e σ p r o j e t o

Obs: O coeficiente de segurança deve necessariamente ser maior do que 1.

Passo 2

O primeiro de tudo é construir o ciclo de Mohr, que vai ser da seguinte forma:

σ x = 8 0   M P a

σ y = - 11 0   M P a

τ x y = - 35   M P a

Repare que para y a tensão é compressiva por isso é negativa, já para a tensão cisalhante τ x y ela é negativa por motivo de convenção apenas.

Perceba que a tensão cisalhante em X e em Y são iguais, em módulo, e σ x é positivo enquanto σ y é negativo. Agora vamos achar o centro e o raio desse ciclo, respectivamente:

σ m é d = σ x + σ y 2

Como você pode ver é uma média simples e os termos σ x e σ y vem da imagem fornecida na questão:

σ x = 8 0   M P a

σ y = - 11 0   M P a

τ x y = - 35   M P a

Lembre-se que o sinal negativo representa uma tensão de compressão!

Sendo assim:

σ m é d = 80 - 110 2

σ m é d = - 15   M P a

Agora falta só a tensão máxima de cisalhamento, que é igual ao raio do ciclo de Mohr e é fornecida como:

τ m á x = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ m á x = R = 8 0 - ( - 11 0 ) 2 2 + - 35 2

τ m á x = R = 10250

τ m á x = R = 101,24   M P a

Pronto agora temos o ciclo de Mohr completo!

Passo 3

Com isso podemos responder a pergunta da letra A, utilizando a tensão máxima calculada τ m á x = 101,24   M P a , mas qual é a máxima tensão de cisalhamento admissível, se a a tensão de escoamento dada foi a de tração ( σ e = 24 0   M P a )?

Simples! É só dividir essa tensão por dois:

τ e = σ e 2

τ e = 2 4 0 2 = 12 0   M P a

Mas porque isso foi feito? Bom utilizamos o critério da máxima tensão cisalhante:

τ m á x = 1 2 ⋅ σ m á x - σ m í n

Além disso consideramos também que a tensão mínima de tração σ m í n é nula! Daí chegamos a nossa relação:

τ e = σ e 2

Passo 4

Agora é só calcular o coeficiente de segurança, que neste caso vamos utilizar as tensões de cisalhamento:

C S = τ e τ p r o j e t o

C S = 12 0 101,24   = 1,185

obs: Não confunda o τ m á x aplicado de fato ao componente, que é igual ao raio do ciclo de Mohr e chamado de τ p r o j e t o neste exemplo, com o τ m á x de escoamento τ e que é intrínseco do material, chamado de τ e .

Passo 5

Agora vamos resolver a letra B utilizando o critério da máxima energia de distorção:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

Perceba que σ a e σ b são as tensões normais máxima e mínima, respectivamente. Isso vem lá do ciclo de mohr, pode dar uma olhadinha no passo 2 se quiser =D

Então a gente tem que achar esses valores, que é muito simples, só precisamos da tensão média σ m é d e do raio:

σ a = σ m é d + R

σ a = - 15 + 101,24   = 86,24   M P a

σ b = σ m é d - R

σ b = - 15 - 101,24   = - 116,24   M P a

Substituindo:

σ a 2 - σ a ⋅ σ b + σ b 2

86,24 2 - 86,24 ⋅ ( - 116,24 ) + - 116,24 2 = 176   M P a

Como a nossa tensão máxima de escoamento é σ e = 24 0 M P a podemos calcular o coeficiente de segurança:

C S = σ e σ p r o j e t o

C S = 24 0 176 = 1,364

Resposta

a)

C S = 1,185

b)

C S = 1,364

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