Enunciado

O estado plano de tensões mostrado ocorre em um componente estrutural feito de aço com σ e = 250   M P a . Usando o critério da máxima energia de distorção, determinar se o escoamento ocorre quando: (a) τ x y = 100   M P a ; (b) τ x y = 125   M P a ; (c) τ x y = 145   M P a .

Passo 1

Para resolver essa questão a primeira coisa e a mais importante é saber identificar corretamente as tensões normais e cisalhantes, neste caso será o seguinte:

σ x = - 20   M P a

σ y = - 80   M P a

O critério da máxima energia de distorção é o seguinte:

σ m á x 2 + σ m í n 2 - σ m á x ⋅ σ m í n

Então vamos lá!

Passo 2

Para letra A)

τ x y = 100   M P a

Vamos, também, achar a tensão média:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 80 - 20 2

σ m é d = - 50   M P a

Passo 3

Vamos achar o raio do ciclo de mohr fazendo:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

R = - 80 - ( - 20 ) 2 2 + 100 ²

R = 10900

R = 104,40   M P a

Passo 4

Agora vamos calcular as tensões normais máxima e mínima:

σ m á x = σ m é d + R

σ m á x = - 50 + 104,40 = 54,40   M P a

σ m í n = σ m é d - R

σ m í n = - 50 - 104,40 = - 154,40   M P a

Aplicando o critério:

σ m á x 2 + σ m í n 2 - σ m á x ⋅ σ m í n

54,40 ² + ( - 154,40 ) ² - 54,40 ⋅ ( - 1 54,40 ) = 187,6   M P a

Logo não há falha pois o valor é menor do que a tensão de escoamento de σ e = 250   M P a

Passo 5

Para letra B)

τ x y = 125   M P a

Vamos, também, achar a tensão média:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 80 - 20 2

σ m é d = - 50   M P a

Passo 6

Vamos achar o raio do ciclo de mohr fazendo:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

R = - 80 - ( - 20 ) 2 2 + 125 ²

R = 16525

R = 128,55   M P a

Passo 7

Agora vamos calcular as tensões normais máxima e mínima:

σ m á x = σ m é d + R

σ m á x = - 50 + 128,55 = 78,55   M P a

σ m í n = σ m é d - R

σ m í n = - 50 - 128,55 = - 178,55   M P a

Aplicando o critério:

σ m á x 2 + σ m í n 2 - σ m á x ⋅ σ m í n

78,55 ² + ( - 178,55 ) ² - 78,55 ⋅ ( - 178,55 ) = 228,2   M P a

Logo não há falha pois o valor é menor do que a tensão de escoamento de σ e = 250   M P a

Passo 8

Para letra C)

τ x y = 145   M P a

Vamos, também, achar a tensão média:

σ m é d = σ x + σ y 2

σ m é d = - 80 - 20 2

σ m é d = - 50   M P a

Passo 9

Vamos achar o raio do ciclo de mohr fazendo:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

R = - 80 - ( - 20 ) 2 2 + 145 ²

R = 21925

R = 148   M P a

Passo 10

Agora vamos calcular as tensões normais máxima e mínima:

σ m á x = σ m é d + R

σ m á x = - 50 + 148 = 98   M P a

σ m í n = σ m é d - R

σ m í n = - 50 - 148 = - 198   M P a

Aplicando o critério:

σ m á x 2 + σ m í n 2 - σ m á x ⋅ σ m í n

98 ² + ( - 198 ) ² - 98 ⋅ ( - 198 ) = 261   M P a

Logo há falha pois o valor é maior do que a tensão de escoamento de σ e = 250   M P a

Resposta

a) Não

b) Não

c) Sim

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