Enunciado

Para o estado de tensão mostrado, determine o intervalo de valores de θ para os quais a intensidade da tensão de cisalhamento τ x ' y ' é igual ou menor que 8 ksi.

Passo 1

Estamos aqui pra mais um exercício, vem comigo?! Para resolver esse exercício, vamos precisar desenhar o círculo de Mohr para poder analisar os valores possíveis de θ para a condição dada. E a análise vai ser praticamente toda por trigonometria.

Agora, para desenhar o círculo de Mohr, vamos precisar calcular a tensão média, o raio do círculo e as direções dos planos e tensões principais. Então vamos lá!

Passo 2

Vamos começar escrevendo nossas componentes de tensão que vem do elemento dado no enunciado, onde temos:

σ x = - 16   k s i

σ y = 0

τ x y = 6   k s i

Agora, vamos calcular a tensão média, que é dada por:

σ m e d = σ x + σ y 2 = - 16 + 0 2 → σ m e d = - 8   k s i

Agora, vamos calcular o raio do nosso círculo de Mohr, que é dado por:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2 = - 16 - 0 2 2 + 6 2 → R = 10   k s i

Beleza! Com esses dados conseguimos esboçar nosso círculo de Mohr, que será dado por:

Passo 3

Beleza! Então, com o círculo de Mohr do passo 2, podemos encontrar as direções principais por trigonometria, onde teremos:

t g   2 θ P = O Y O C = - τ x y A C - A O = - τ x y σ x - σ y 2 → t g   2 θ P = - 2 τ x y σ x - σ y

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

t g   2 θ P = - 2 6 - 16 - 0 → θ P = 18,435 °

Beleza, temos todas as informações com relação ao nosso círculo para o estado padrão. Agora vamos delimitar no círculo de Mohr a região onde temos a tensão de cisalhamento τ x ' y ' ≤ 8   k s i , então teremos:

Agora, vamos encontrar o valor para o ângulo ϕ , que pode ser encontrado através da seguinte relação trigonométrica:

s e n   2 ϕ = 8 R

Em que 8 é justamente a tensão de cisalhamento máximo, e como nós conhecemos o valor do raio, o valor de ϕ será:

s e n   2 ϕ = 8 10 → ϕ = 26,56 °

Passo 4

Beleza! Agora nós vamos encontrar os ângulos entre os pontos que já temos em X e Y até os limites do arco para o qual temos a tensão de cisalhamento menor que 8 ksi, lembrando sempre que a rotação θ no elemento diferencial equivale a uma rotação 2 θ no círculo de Mohr. Então, vamos começar a análise com o arco FBG, temos que o ângulo do ponto X até o ponto F pode ser dado por:

θ X F = θ P - ϕ = - 18,435 ° - 26,56 ° → θ X F = - 45 °

Agora, do ponto X até o ponto G teremos:

θ X G = θ P + ϕ = - 18,435 ° + 26,56 ° → θ X G = 8,125 °

Beleza, então encontramos nosso primeiro intervalo possível para θ , que será:

- 45 ° ≤ θ ≤ 8,125 °

Agora, temos que analisar o outro arco, formado pelos pontos EAD. Nesse caso ficou fácil devido a simetria do problema, já que os pontos estão a 180° de rotação dos pontos que achamos antes, basta somar 90° nos valores encontramos anteriormente, então o outro intervalo será:

- 45 ° + 90 ≤ θ ≤ 8,125 ° + 90 °

45 ° ≤ θ ≤ 98,125 °

Prooonto! Esses é o segundo intervalo possível para θ , acabamos por aqui!

Resposta

- 45 ° ≤ θ ≤ 8,125 °

45 ° ≤ θ ≤ 98,125 °

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) σ y = 20M P a e (b) σ y = 1 4 0M P a . (Sugestão: Considere as tensões de cisalhamento no plano e fora do plano d
Para o estado plano de tensões indicado, determine o valor de σ y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é 10k s i .
Para o estado plano de tensões indicado, determine o valor de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é 80M P a .
Para o estado plano de tensões indicado, determine o intervalo de valores de τ x y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é igual ou menor que 60M P a .
Para o estado de tensão indicado, determine a tensão de cisalhamento máxima quando (a) τ y z = 120,7M P a , (b) τ y z = 55,2M P a e (c) τ y z = 0 .