Enunciado

Para o estado de tensão do Problema 7.69, determine (a) o valor de σ y para o qual a tensão de cisalhamento máxima seja a menor possível e (b) o valor correspondente da tensão de cisalhamento.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, nós vamos precisar encontrar uma expressão para σ y e depois verificar se a tensão de cisalhamento máxima ocorre no plano ou não, para então podermos encontrar o valor de σ y e depois a tensão de cisalhamento correspondente.

Passo 2

Vamos começar escrevendo as tensões fornecidas no elemento diferencial, que são:

σ x = 140   M P a

τ x y = 80   M P a

Agora, nós sabemos que a tensão média pode ser encontrada através de:

σ m e d = σ x + σ y 2

E que, para o raio do círculo de Mohr, podemos utilizar a seguinte fórmula:

R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Agora, vamos chamar essa expressão dentro da equação do círculo de Mohr de u , onde teremos:

u = σ x - σ y 2 → 2 u = σ x - σ y → σ y = σ x - 2 u

Substituindo essa expressão na equação para a tensão média e para o raio do círculo de Mohr, chegamos nas seguintes equações:

σ m e d = σ x + σ x - 2 u 2 → σ m e d = σ x - u

R = u 2 + τ x y 2

E, sabendo que as tensões nos extremos do círculo, pontos A e B, podem ser dadas por:

σ a = σ m e d + R

σ b = σ m e d - R

Substituindo as expressões para σ m e d e R, teremos:

σ a = σ x - u + u 2 + τ x y 2

σ b = σ x - u - u 2 + τ x y 2

Passo 3

Beleza! Agora vamos assumir que a tensão de cisalhamento máxima é a própria tensão no plano, onde nesse caso, temos que a tensão de cisalhamento máxima é igual ao raio do círculo de Mohr, ou seja:

τ m a x = R

Então, para esse caso, a tensão de cisalhamento será mínima quando tivermos:

u = 0

Para esse valor de u , podemos calcular a tensão média e a tensão na direção y através das fórmulas lá do passo 2, então teremos:

σ m e d = σ x - u = 140 - 0 → σ m e d = 140   M P a

σ y = σ x - 2 u = 140 - 2 0 → σ y = 140   M P a

E, como nós comentamos no início desse passo, a tensão de cisalhamento será igual ao raio do círculo, então teremos:

R = τ x y → R = 80   M P a

Então, podemos calcular as tensões nos pontos A e B, através das fórmulas lá do passo 2, então teremos:

σ a = σ x - u + u 2 + τ x y 2 = 140 - 0 + 0 2 + 80 2 → σ a = 220   M P a

σ b = σ x - u - u 2 + τ x y 2 = 140 - 0 - 0 2 + 80 2 → σ b = 60   M P a

Então, nesse caso, nossa tensão máxima e mínima serão:

σ m a x = 220   M P a

σ m i n = 0   M P a

E, a tensão de cisalhamento máxima pode ser encontrada através de:

τ m a x = σ m a x - σ m i n 2 = 220 - 0 2 → τ m a x = 110   M P a

Opa, pera lá! Esse valor é maior do que o valor que assumimos, que seria o raio do círculo, isso quer dizer que nossa suposição está errada, então devemos seguir com a análise.

Passo 4

Beleza! Agora então vamos assumir que a tensão máxima ocorre no ponto A, ou seja:

σ m a x = σ a

Substituindo a expressão para σ a , teremos:

σ m a x = σ x - u + u 2 + τ x y 2

E, tendo σ m i n = 0 , a nossa equação para o cisalhamento máximo se torna:

τ m a x = 1 2 σ m a x - σ m i n = 1 2 σ x - u + u 2 + τ x y 2 - 0

τ m a x = 1 2 σ x - u + u 2 + τ x y 2 = 1 2 σ a

Então, para ter a menor tensão de cisalhamento máxima, vamos derivar a expressão para σ a com relação a u (já que nosso u depende de σ y ), para tentar achar um mínimo. Então teremos:

d σ a d u = d σ x - u + u 2 + τ x y 2 d u = - 1 + u u 2 + τ x y 2 = 0

u u 2 + τ x y 2 = 1 → u 2 = u 2 + τ x y 2 → τ x y 2 = 0

O que também não é possível, já que nossa tensão de cisalhamento não é zero, então não temos mínimo para essa função.

Passo 5

Dessa forma, o valor ótimo de u (ou seja, o valor de σ y para o qual a tensão de cisalhamento máxima é a menor possível) ocorre quando a tensão máxima fora do plano é igual a tensão máxima no plano, ou seja, quando tivermos:

1 2 σ m e d + R = R → σ a + R = 2 R → σ a = R

Então, substituindo as expressões para σ m e d e para o raio do círculo, teremos:

σ x - u = u 2 + τ x y 2

Agora precisamos isolar u dessa equação, então vamos lá:

σ x - u 2 = u 2 + τ x y 2 → σ x 2 - 2 σ x u + u 2 = u 2 + τ x y 2

2 σ x u = σ x 2 - τ x y 2 → u = σ x 2 - τ x y 2 2 σ x

Agora, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

u = 140 2 - 80 2 2 140 → u = 47,14   M P a

E, com esse valor de u, podemos finalmente encontrar a resposta para a letra (a), pegando a equação para σ y lá do passo 2 e substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ y = σ x - 2 u = 140 - 2 47,14 → σ y = 45,7   M P a

Ufa! Esse é o nosso valor de σ y , bora pra letra (b) pra fechar esse exercício logo!

Passo 6

Agora ficou fácil, para a letra (b), basta pegar a equação para o raio do círculo de Mohr lá do passo 2, onde temos:

R = u 2 + τ x y 2

E, nós sabemos que o raio do círculo vai ser a tensão de cisalhamento máxima, então, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

R = τ m a x = 47,14 2 + 80 2 → τ m a x = 92,8   M P a

Prooonto! Agora sim acabamos de vez!!

Resposta

a :   σ y = 45,7   M P a

b :   τ m a x = 92,8   M P a

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