Enunciado

73. Determine

(a) as tensões principais e

(b) a tensão de cisalhamento máxima no plano e a tensão normal média. Especifique a orientação do elemento em cada caso.

Passo 1

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = - 12   M P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o

σ y = - 8   M P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o  

τ x y = 4   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   1 °   e   3 °   q u a d r a n t e

A primeira coisa que temos que fazer é determinar a tensão média σ m e d , através da fórmula abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = - 12   M P a - 8   M P a 2

σ m e d = - 10   M P a  

Depois, o próximo passo é achar a tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que é dada por:

τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nossa tensão máxima como:

τ m á x = - 12   M P a + 8   M P a 2 2 + ( 4   M P a ) 2

τ m á x ≅ 4,47   M P a

Passo 2

(a) Obtido a tensão média e a tensão de cisalhamento máxima, todo mundo já tá careca de saber a fórmula das tensões principais, que é dada abaixo:

σ 1,2 = σ m e d ± τ m á x

Esssa relação nos fornece duas tensões uma máxima σ 1 e outra mínima σ 2 :

σ 1 = σ m e d + τ m á x

σ 1 ≅ - 10   M P a + 4,47   M P a

σ 1 ≅ - 5,53   M P a

σ 2 = σ m e d - τ m á x

σ 2 ≅ - 10   M P a - 10,8   M P a

σ 2 ≅ - 14,47   M P a

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo de estado plano θ p , que é dado pela fórmula abaixo:

tan ⁡ 2 θ p = 2 τ x y σ x - σ y

tan ⁡ 2 θ p = 2 ⋅ ( 4   M P a ) - 12   M P a + 8   M P a )

2 θ p = tan - 1 ⁡ ( - 2 )

θ p = - 31,7 °   ( h o r á r i o )

E o nosso ângulo   θ p 1 que queremos para especificar a orientação do elemento é exatamente igual a   θ p :

θ p 1 = θ p

θ p 1 = 31,7 °

Passo 3

(b) Mas olha só que beleza! Esse item pede a tensão de cisalhamento máximo e a tensão normal média. Acontece que já obtemos elas lá no P a s s o   1 , como ferramenta para ajudar a calcular as tensões principais. Não acredita!? Pois olha de volta o P a s s o   1 :

σ m e d = - 10   M P a  

τ m á x ≅ 10,8   M P a

Agora só falta determinar o ângulo de cisalhamento θ s , que é dado através da fórmula abaixo:

tan ⁡   2 θ s = σ x - σ y 2 τ x y

Onde substuindo os valores numéricos pertinentes a cada variável, chegamos à:

tan ⁡   2 θ s = - 12   M P a + 8   M P a 8   M P a

tan ⁡   2 θ s = - 0,5

2 θ s = tan - 1 ⁡ ( - 0,5 )

2 θ s = - 26,6 °

θ s = - 13,3 °   ( a n t i - h o r á r i o )  

E o nosso ângulo   θ s 1 que queremos para especificar a orientação do elemento é exatamente igual a   θ s :

θ s 1 = 13,3 °

Resposta

(a)

σ 1 ≅ - 5,53   M P a

σ 2 ≅ - 14,47   M P a

θ p 1 = 29,87 °   ( h o r á r i o )

(b)

σ m e d = - 10   M P a  

τ m á x ≅ 4,47   M P a

θ s 1 = 13,3 °   ( a n t i - h o r á r i o )

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