Uma estrutura de alumínio possui uma seção transversal conhecida como “chapéu fundo”. Localize o centroide y - de sua área. Cada segmento tem uma espessura de 10   m m .

Passo 1

Oi tudo bem? Vamos resolver este exercício.

Nesse problema temos uma estrutura homogênea de alumínio e nosso objetivo é calcular seu centroide na coordenada y sendo que cada seguimento tem 10 m m de espessura.

Lembra como fazemos isso?

O centroide de uma área em y é dada por:

y - = ∫ A y d A ∫ A d A

Ou, nesse caso, podemos separar a área total do objeto como:

y - = ∑ y ' - A ∑ A

Em que y ' - é o centro da i -ésima parte.

Bora lá!

Passo 2

Vamos começar redesenhando a área do objeto:

Assim, podemos escrever o somatório como:

y - = y 1 ' - · A 1 + y 2 ' - · A 2 + y 3 ' - · A 3 + y 4 ' - · A 4 + y 5 ' - · A 5 A 1 + A 2 + A 3 + A 4 + A 5

Porém, perceba que y 1 ' - · A 1 = y 2 ' - · A 2 , y 3 ' - · A 3 = y 4 ' - · A 4 e A 3 = A 4 = A 5 , ou seja:

y - = 2 · y 1 ' - · A 1 + 2 · y 3 ' - · A 3 + y 5 ' - · A 5 2 · A 1 + 3 · A 3

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos calcular cada y i ' - · A i ...

Lembrando que nossa referência é a parte superior do objeto, a linha roxa.

Para A 1 , temos:

y 1 ' - = 10 2 = 5   m m

A 1 = 10 · 30 = 300   m m 2

Para A 3 , temos

y 3 ' - = 10 + 80 2 = 50   m m

A 3 = 80 · 10 = 800   m m 2

E para A 5 , temos:

y 5 ' - = 10 + 80 + 10 2 = 95   m m

A 5 = 10 · 80 = 800   m m 2

Substituindo tudo isso em y - , chegamos em:

y - = 2 · y 1 ' - · A 1 + 2 · y 3 ' - · A 3 + y 5 ' - · A 5 2 · A 1 + 3 · A 3 = 2 · 5 · 300 + 2 · 50 · 800 + 95 · 800 2 · 300 + 3 · 800

y - = 53   m m

É isso! O que achou? Responde Aí!

Resposta

y - = 53   m m

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