Enunciado

Se a estrutura gira com uma velocidade angular constante ω p = - 10 k   r a d / s e a engrenagem horizontal B gira com uma velocidade angular constante ω B = 5 k   r a d / s , determine a velocidade angular e a aceleração angular da engrenagem oblíqua A .

Passo 1

Uma vez que a engrenagem cônica, na qual se localiza o ponto A , gira em torno do seu próprio eixo, temos

ω = ω s + ω p

ω = ω s c o s 30 ° j + ω s s e n 30 ° k - 10 k

ω = 0,866 ω s j + ( 0,5 ω s - 10 ) k

Passo 2

A engrenagem B gira em torno de um eixo fixo, então, a velocidade no ponto de contato entre as engrenagens A e B será igual a

v p = ω B × r B = 5 k × 0,45 j = - 2,25 i   m / s

Como r O P = [ 0,45 j ]   m , então

v p = ω × r O P

- 2,25 i = 0,866 ω s j + 0,5 ω s - 10 k × ( 0,45 j )

- 2,25 i = - 0,45 0,5 ω s - 10 i

Logo

- 2,25 = - 0 , 4 5 0,5 ω s - 10

ω s = 30   r a d / s

Portanto,

ω s = 30 c o s 30 ° j + 30 s e n 30 ° k = 25,98 j + 15 k   r a d / s

ω = 0,866 30 j + 0,5 30 - 10 k = 26 j + 5 k   r a d / s

Passo 3

Adotando que o sistema de coordenadas fixo X Y Z concida com rotativo x y z , no instante considerado. Como o sitema x y z gira com a velocidade angular ω p , a direção de ω s permaneverá constante em relação a x y z . Logo

ω ˙ s = ( ω ˙ s ) x y z + ω p × ω s

ω ˙ s = 0 + - 10 k × 25,98 j + 15 k

ω ˙ s = 259,8 i   r a d / s 2

Portanto,

ω ˙ p = ( ω ˙ p ) x y z + ω p × ω p = 0 + 0 = 0

E

α = ω ˙ = ω ˙ s + ω ˙ p = 259,8 i + 0 = 260 i r a d / s 2

Resposta

A velocidade e aceleração angular da engrenagem cônica são iguais a [ 26 j + 5 k ]   r a d / s e 260 i   r a d / s 2 .

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