Enunciado

Nós expressamos por ε 1 , ε 2 e ε 3 as três medidas de deformação específica normal feitas com uma roseta à 60°. Pede-se (a) mostrar que a soma destas deformações e a soma do quadrado de suas diferenças são ambas independetes da orientação da roseta, e respectivamente iguais a:

ε 1 + ε 2 + ε 3 = 3 ε m é d

e

ε 1 - ε 2 2 + ε 2 - ε 3 2 + ε 3 - ε 1 2 = 4,5 R 2

Onde ε m é d é a abcissa do centro do círculo de Mohr para as correspondentes deformações e R é o raio deste círculo.

Passo 1

Vamos lá galera, este é um problema bem teórico então vai exigir um pouco mais de abstração da nossa parte, mas para facilitar um pouco e tentar tornar um pouco mais concreto vamos pegar o círculo de Mohr para um caso onde existam três deformações. Vai ficar assim:

Passo 2

As equações que vamos utilizar são da seguinte forma:

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Uma das coisas mais funcamentais dessa questão é achar os ângulos θ 1 ,   θ 2   e   θ 3 . Eles vão ser:

θ 1 = θ

θ 2 = θ + 120 °

θ 3 = θ + 60 °

Daí é só substituir:

Para θ 1 = θ

ε 1 = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Para θ 2 = θ + 120 °

ε 2 = ε x ⋅ c o s 2 ( θ + 120 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ + 120 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ + 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ + 120 ° )

Para θ 3 = θ + 60 °

ε 3 = ε x ⋅ c o s 2 ( θ + 60 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ + 60 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ + 60 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ + 60 ° )

Agora vamos utilizar algumas propriedades trigonométricas de soma de seno e cosseno para os casos 2 e 3, da seguinte forma:

s e n A + B = s e n A ⋅ cos ⁡ B + s e n B ⋅ c o s ⁡ ( A )

cos ⁡ A + B = cos ⁡ A ⋅ cos ⁡ B - s e n A ⋅ s e n B

Continuaremos no passo 3.

Passo 3

Agora que relembramos a soma dos ângulos podemos determinar os valores para θ + 120 ° :

s e n θ + 120 ° = s e n θ ⋅ cos ⁡ 120 ° + s e n 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ )

cos ⁡ θ + 120 ° = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ 120 ° - s e n θ ⋅ s e n 120 °

E para θ + 60 ° :

s e n θ + 60 ° = s e n θ ⋅ cos ⁡ 60 ° + s e n 60 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ )

cos ⁡ θ + 60 ° = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ 60 ° - s e n θ ⋅ s e n 60 °

Observe que a gente não ta substituindo os valores pra não ficar mais confuso ainda! Mas o que podemos fazer é lembrar que:

cos ⁡ 120 ° = - c o s ⁡ ( 60 ° )

s e n 120 ° = s e n ( 60 ° )

Dessa forma a gente pode passar tudo para 60° de modo a facilitar um pokito!

para θ + 120 ° :

s e n θ + 120 ° = s e n θ ⋅ - cos ⁡ 60 ° + s e n 60 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ )

cos ⁡ θ + 120 ° = cos ⁡ θ ⋅ - cos ⁡ 60 ° - s e n θ ⋅ s e n 60 °

E para θ + 60 ° a gente mantém a mesma coisa de antes:

s e n θ + 60 ° = s e n θ ⋅ cos ⁡ 60 ° + s e n 60 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ )

cos ⁡ θ + 60 ° = cos ⁡ θ ⋅ cos ⁡ 60 ° - s e n θ ⋅ s e n 60 °

Passo 4

Vamos só lembrar que o problema pede, essencialmente, para calcularmos ε 1 + ε 2 + ε 3 . Vamos fazer isso com bastante calma então nós temos:

ε 1 = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Para ε 2 ( θ + 120 ° ) a gente já achou uma substituição legal, antes era assim:

ε 2 = ε x ⋅ c o s 2 ( θ + 120 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ + 120 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ + 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ + 120 ° )

Com a substituição trigonométrica do passo anterior fica:

ε 2 = ε x ⋅ c o s 2 ( θ + 120 ° ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ + 120 ° ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ + 120 ° ⋅ c o s ⁡ ( θ + 120 ° )

Aí, galera daqui pra gente o problema se torna apenas algébrico então vou ajudar vocês um pouco porque vamos ter que substituir os valores de s e n 60 ° , cos ⁡ 60 ° ,   s e n 120 ° e cos ⁡ 120 ° e ainda elevar tudo ao quadrado vamos ter no final o seguinte:

cos 2 ⁡ ⁡ ( θ + 60 ) = 1 4 c o s 2 θ - 2 3 s e n θ cos ⁡ θ + 3 s e n 2 ( θ )

sen 2 ⁡ ⁡ ( θ + 60 ) = 1 4 s e n 2 θ + 2 3 s e n θ cos ⁡ θ + 3 cos 2 ⁡ ( θ )

s e n θ + 60   .   c o s θ + 60 = 1 4 3 cos 2 ⁡ θ - 3 se n 2 ⁡ θ - 2 s e n θ cos ⁡ θ

Para θ + 120 vamos ter:

cos 2 ⁡ ⁡ ( θ + 120 ) = 1 4 c o s 2 θ + 2 3 s e n θ cos ⁡ θ + 3 s e n 2 ( θ )

sen 2 ⁡ ⁡ ( θ + 120 ) = 1 4 s e n 2 θ - 2 3 s e n θ cos ⁡ θ + 3 cos 2 ⁡ ( θ )

s e n θ + 120   .   c o s θ + 120 = 1 4 - 3 cos 2 ⁡ θ + 3 se n 2 ⁡ θ - 2 s e n θ cos ⁡ θ

Passo 5

Lembra dessa equação?

ε θ = ε x ⋅ c o s 2 ( θ ) + ε y ⋅ s e n 2 ( θ ) + γ x y ⋅ sen ⁡ θ ⋅ c o s ⁡ ( θ )

Então pessoal, a gente já calculou uma porrada de coisa então aqui vai o pulo do gato nessa questão que é somar ε 1 com ε 2 com ε 3 :

ε 1 + ε 2 + ε 3 = K 1 ε x + K 2 ε y + K 3 γ x y

Gente, eu coloquei esses K ’s só porque a equação iria ficar muito gigante, na verdade eles valem:

K 1 = cos 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ + 60 ) + cos 2 ⁡ ( θ + 120 ) ⁡

K 2 = sen 2 ⁡ ( θ ) + sen 2 ⁡ ( θ + 60 ) + sen 2 ⁡ ( θ + 120 ) ⁡

K 3 = cos 2 ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ ( θ + 60 ) + cos 2 ⁡ ( θ + 120 ) ⁡

Aí se a gente substituir esses valroes dos senos e cossenos pelos valores calculados no passo anterior a gente vai ver que:

K 1 = cos 2 ⁡ ⁡ ( θ ) + cos 2 ⁡ θ 2 + 3 se n 2 ⁡ θ 2 = 1,5

K 2 = sen 2 ⁡ ⁡ ( θ ) + sen 2 ⁡ θ 2 + 3 co s 2 ⁡ θ 2 = 1,5

K 3 = 0

Então a gente vai ter:

ε 1 + ε 2 + ε 3 = 1,5 ( ε x + ε y )

Como

ε m é d = ε x + ε y 2

ε 1 + ε 2 + ε 3 = 3 ε m é d

Prontinho!!

Passo 6

Para achar a segunda relação:

ε 1 - ε 2 2 + ε 2 - ε 3 2 + ε 3 - ε 1 2 = 4,5 R 2

A gente vai fazer a mesma coisa, vamos substituir os valores da deformação ε 1 ,   ε 2   e   ε 3 pelas equações em função dos ângulos θ ,   θ + 60 °   e   θ + 120 ° .

A única coisa a mais que a gente precisa saber é que

R = ε x - ε y 2 2 + γ x y 2 2

E como a gente viu no passo anterior γ x y = 0 , Logo:

R 2 = ε x - ε y 2 2

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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