Enunciado

As extremidades A e D de dois eixos maciços de aço, AB e CD, estão engastadas enquanto as extremidades B e C são conectadas por engrenagens, como indicado. Sabendo-se que a tensão de cisalhamento admissível é 50   M P a para cada eixo, determinar o maior torque T que pode ser aplicado na engrenagem B

Passo 1

Como quase todas as questões de torção, vamos começar calculando os momentos de inércia dos eixos.

Passo 2

Agora vamos pensar um ponto na física do problema.

Um torque T é aplicado diretamente no ponto B. Mas ao contrário do que parece, nem todo o valor de T é transmitido para o eixo AB. Somente parte desse torque é transmitido para o eixo AB e outra parte é transmitida para o eixo CB. Como descobrir o quanto de torque foi para cada eixo?

A primeira coisa a se notar é que as duas extremidades A e D são engastadas. Logo esse é um sistema estático! Então vamos nos aproveitar das CONDIÇÕES ESTÁTICAS.

Agora vamos desenhar um diagrama de corpo livre de cada uma das engrenagens:

Na engrenagem B a questão nos diz que um torque T é aplicado nessa engrenagem. Essa é uma estrutura estática, então, como reação surgirá um torque que vamos chamar de chamar esse torque de T A B . E devido ao contato entre as duas engrenagens surge uma força F C B .

A engrenagem C sofre a força de contato vinda da engrenagem B, como reação surge um torque T C D na engrenagem C.

Então, se aplicarmos o somatório de momentos em cada uma das engrenagens teremos:

∑ T = 0 ⇒ T - T A B - F C B ⋅ 0,05 = 0 ∑ T = 0 ⇒ 4 - T C D - F C B ⋅ 0,02 = 0

Passo 3

Quando estamos trabalhando com engrenagens devemos considerar as CONDIÇÕES CINEMÁTICAS. Esta condição diz que o ângulo de torção de duas engrenagens acopladas é proporcional da seguinte forma:

r B ϕ B = r c ϕ C

A deformação das engrenagens é desprezível, então as deformações ϕ B e ϕ C são as deformações das barras AB e CD.

Então, vamos aplicar a equação do ângulo de torção:

r B ⋅ T A B L A B J A B G = r c ⋅ T C D L C D J C D G

Simplificamos o G dos dois lados, e isolamos o T A B

T A B = T C D ⋅ r c r B ⋅ L C D L A B ⋅ J A B J C D

T A B = T C D ⋅ 0,02 0,05 ⋅ 500   m m 300   m m ⋅ 405000 π 128144,53 π

T A B = 2,11 ⋅ T C D

Passo 4

Show!

Agora temos um sistema completo:

T A B + 0,05 F C B = T T C D - 0,02 F C B = 0 T A B = 2,11 ⋅ T C D

Vamos resolver esse sistema e encontraremos todos os valores em função de T

T A B = 0,458 ⋅ T

T C D = 0,217 ⋅ T

F C B = 10,85 ⋅ T

Passo 5

Mas o nosso objetivo é determinar o valor de T .

A questão nos dá o valor da tensão admissível, então vamos aplicar a equação da tensão nas duas barras para determinar o maior torque admissível.

Primeiro vamos considerar a barra AB:

τ A B = T A B c A B J A B

50   M P a = 0,458 ⋅ T ⋅ 60 ÷ 2 m m 405000 π   m m 4

T = 4,63   k N ⋅ m

E considerando a barra CD

τ C D = T C D c C D J C D

50   M P a = 0,217 ⋅ T ⋅ 45 ÷ 2 m m 128144,53 π

T = 4,12   k N ⋅ m

E pra concluir a questão, vamos escolher o menor valor de T

T = 4,12   k N   m

Resposta

T = 4,12   k N   m

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