Enunciado

Uma placa anelar de espessura t e módulo de elasticidade transversal G é usada para conectar o Eixo AB de raio r 1 ao tubo CD de raio interno r 2 . Sabendo-se que o torque T é aplicado à extremidade A do eixo AB e que a extremidade D do eixo CD é engastada (a) determinar a intensidade e a localização da máxima tensão de cisalhamento na placa anelas; (b) mostrar que o ângulo de rotação da extremidade B do eixo em relação à extremidade C do tubo é:

ϕ B C = T 4 π G t 1 r 1 2 - 1 r 2 2

Passo 1

Abaixo a gente tem um desenho da estrutura.

Como a placa anelar é muito fina, uma análise normal dos torques não será suficiente.

Então é o seguinte, vamos olhar melhor a placar:

E como vamos avaliar o torque na placa? Para isso vamos usar um pouco de matemágica

Vamos olhar novamente para a nossa seção. Agora vamos imaginar um raio qualquer ρ e uma região pontilhada formada por esse raio:

Nessa região pontilhada, a tensão de cisalhamento é τ .

Agora vamos considerando a área do contorno (destacada em verde)

A l a t e r a l = t ⋅ 2 π ρ

Por definição, tensão é força sobre área. Então podemos determinar uma força equivalente F que é aplicada na região lateral, que é capaz de gerar está tensão de cisalhamento.

F = τ ⋅ A l a t e r a l

Se a gente der uma olhada no diagrama de corpo livre da região pontilhada vamos ver que:

Para essa região ser estática, então a força F tem que compensar o torque T :

Vamos fazer o somatório de torques:

∑ T = 0 ⇒ F ⋅ ρ - T = 0

Vamos expandir:

F ⋅ ρ - T = 0

τ ⋅ A l a t e r a l ⋅ ρ - T = 0

τ ⋅ t ⋅ 2 π ρ ⋅ ρ - T = 0

E agora podemos isolar a tensão em função do raio qualquer ρ :

τ = T 2 π t ⋅ ρ 2

Passo 2

Pronto, o pior já passou!

Agora pra definir a tensão máxima, a gente precisa maximizar a função:

τ = T 2 π t ⋅ ρ 2

A única coisa que podemos variar é o ρ .   E como ele é um denominador, quanto menor for o ρ , maior será a tensão.

No nosso caso, o menor ρ possível é: ρ = r 1 .

Então a maior tensão será:

τ = T 2 π t ⋅ r 1 2

Resposta

τ = T 2 π t ⋅ r 1 2

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