Enunciado

A fenda do braço A B impulsiona o pino C pela fenda espiral descrita pela equação r = 1,5 θ m , onde θ é dado em radianos. Se p braço sai do repouso quando θ = 60 ° e é impulsionado a uma velocidade angular de θ ˙ = 4 t r a d / s , onde t é dado em segundos, determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino C quando t = 1   s .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do pino C quando t = 1   s .

Do enunciado, temos que:

d θ d t = θ ˙ = 4 t

d θ = 4 t d t

Integrando, temos:

∫ π / 3 θ d θ = ∫ 0 t 4 t d t

θ π / 3   θ = 4 t 1 + 1 1 + 1 0 t

θ - π 3 = 4 2 t 2 - 4 2 0 2

θ = 1 3 6 t 2 + π

Como r = 1,5 θ , temos que:

r = 1,5 1 3 6 t 2 + π

r = 1 2 6 t 2 + π

Passo 2

Quando t = 1   s , temos:

r = 1 2 6 ( 1 ) 2 + π

r = 4,571   m

r ˙ = d r d t  

r ˙ = d d t 1 2 6 t 2 + π

r ˙ = 6 t

r ˙ = 6   m / s

E:

r ¨ = d r ˙ d t

r ¨ = d d t 6 t

r ¨ = 6   m / s 2

Queremos:

v = v r 2 + v θ 2

E:

a = a r 2 + a θ 2

Passo 3

Vamos às analises:

Como θ ˙ = 4 t   r a d / s , temos que:

θ ˙ = 4 ( 1 )

θ ˙ = 4   r a d / s

E:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = d d t ( 4 t )

θ ¨ = 4   r a d / s 2

Passo 4

Sabemos que:

v r = r ˙ = 6   m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 4,571 ) ( 4 )

v θ = 18,3   m / s

Passo 5

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 6 - 4,571 4 2

a r = - 67,1   m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 4,571 4 + 2 ( 6 ) ( 4 )

a θ = 66,3   m / s 2

Resposta

v r = 6   m / s

v θ = 18,3   m / s

a r = - 67,1   m / s 2  

a θ = 66,3   m / s 2

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