Enunciado

A barra O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular de θ ˙ = ( 2 t 2 )   r a d / s . Através de meios mecânicos, o anel B move-se ao longo da barra com uma velocidade escalar de r ˙ = 4 t 2 m / s , onde t é dado em segundos. Se θ = 0 e r = 0 quando t = 0 , determine as intensidades da velocidade e aceleração do anel quando θ = 60 ° .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as intensidades da velocidade e aceleração do anel quando θ = 60 ° .

Do enunciado, temos que quando θ = 0 ,   t = 0 , logo:

d θ d t = θ ˙ = 2 t 2

d θ = 2 t 2 d t

Integrando, temos:

∫ 0 θ d θ = ∫ 0 t 2 t 2 d t

θ 0 θ = 2 t 2 + 1 2 + 1 0 t

θ - 0 = 2 3 t 3 - 2 3 0 3

θ = 2 3 t 3

Em θ = 60 ° = π 3 , temos:

π 3 = 2 3 t 3

t = 1,162   s

Do enunciado, temos que quando r = 0 ,   t = 0 , logo:

d r d t = r ˙ = 4 t 2

d r = 4 t 2 d t

Integrando, temos:

∫ 0 r d r = ∫ 0 t 4 t 2 d t

r 0 r = 4 t 2 + 1 2 + 1 0 t

r - 0 = 4 3 t 3 - 4 3 0 3

r = 4 3 t 3

Passo 2

Quando t = 1,162   s , temos:

r = 4 3 1,162 3

r = 2,094   m

r ˙ = 4 1,162 2

r ˙ = 5,405   m / s

E:

r ¨ = d r ˙ d t

r ¨ = d d t 4 t 2

r ¨ = 2 4 t

r ¨ = 8 t

r ¨ = 8 1,162

r ¨ = 2,703   m / s 2

Queremos:

v = v r 2 + v θ 2

E:

a = a r 2 + a θ 2

Passo 3

Vamos às analises:

Como θ ˙ = 2 t 2   r a d / s , temos que:

θ ˙ = 2 1,162 2

θ ˙ = 2,703   r a d / s

E:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = d d t ( 2 t 2 )

θ ¨ = 4 t

θ ¨ = 4 1,162

θ ¨ = 4,65   r a d / s 2

Passo 4

Sabemos que:

v r = r ˙ = 5,405   m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 2,094 ) ( 2,703 )

v θ = 5,66   m / s

A magnitude da velocidade será:

v = 5,405 2 + 5,66 2

v = 7,83   m / s

Passo 5

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 9,3 - 2,094 2,703 2

a r = - 5,998   m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 2,094 4,65 + 2 ( 5,405 ) ( 2,703 )

a θ = 38,95   m / s 2

Logo:

a = - 5,998 2 + 38,95 2

a = 39,4   m / s 2

Resposta

v = 7,83   m / s

a = 39,4   m / s 2

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