Enunciado

A figura mostra uma plataforma inclinável de caminhão para descarregar contêineres carregados. O contêiner carregado de 120   t pode ser considerado como um bloco retangular homogêneo maciço com centro de massa em G . Se a roda de apoio A é impedida de se movimentar, calcule a força F B exercida pela plataforma sobre a roda de apoio B , quando o caminhão parte do repouso com uma aceleração para frente de 3   m / s 2 . Despreze o atrito em B .

Passo 1

Vamos começar calculando o momento resultante em relação ao ponto A :

∑ M A = I A α

E as únicas forças que produzem momento em relação a esse ponto são as componentes da força peso e a força F B :

∑ M A = m g cos ⁡ 30 ° 4 - m g sen ⁡ 30 ° 1,5 - 4 + 4 F B cos ⁡ 15 ° = I A α

120.10 3 9,81 4 cos ⁡ 30 ° - 1,5 sen ⁡ 30 ° - 7,73   F B = I A α

3,195.10 6 - 7,73   F B = I A α

E então precisamos calcular I A e α para resolver o problema.

Passo 2

Começamos por I A , o momento de inércie do contêiner em relação ao ponto A :

I A = 1 3 m ( 8 2 + 3 2 )

I A = 1 3 120.10 3 73 = 2,92.10 6   k g ∙ m 2

E vamos usar algumas relações geométricas para calcular α , que é na verdade a aceleração angular associado ao ângulo que, no instante retratado no desenho, mede 30 ° :

Podemos usar a lei dos senos para escrever uma relação entre as grandezas da figura:

sen ⁡ 45 ° - θ x = sen ⁡ 135 ° l

A segunda derivada de x será igual à aceleração do centro de massa do contêiner, e a segunda derivada de θ será igual à aceleração angular.

sen ⁡ 45 ° - θ = x sen ⁡ 135 ° l

Derivando uma vez em relação ao tempo:

- θ ˙ cos ⁡ 45 ° - θ = x ˙ sen ⁡ 135 ° l

E derivando mais uma vez:

θ ˙ 2 sen ⁡ 45 ° - θ - θ ¨ cos ⁡ 45 ° - θ = x ¨ sen ⁡ 135 ° l

No instante em que o caminho parte do repouso com uma aceleração x ¨ = 3   m / s 2 , podemos supor que a velocidade angular do contêiner é muito pequena, e portanto θ ˙ 2 é desprezível:

- θ ¨ cos ⁡ 45 ° - θ = x ¨ sen ⁡ 135 ° l

θ ¨ = x ¨ sen ⁡ 135 ° l cos ⁡ 45 ° - θ

E agora é só calcular θ ¨ = α no caso em que θ = 30 ° , x ¨ = 3 m / s 2 e l = 8   m :

α = - 3 sen ⁡ 135 ° 8 cos ⁡ 45 ° - 30 ° ≅ - 0,275   r a d / s 2

Onde o sinal negativo indica que a aceleração angular é no sentido anti-horário, que nós tomamos como positivo no cálculo do momento.

Passo 3

Agora vamos substituir esses valores na expressão que encontramos no primeiro passo:

3,195.10 6 - 7,73   F B = I A α

3,195.10 6 - 7,73 F B = 2,92.10 6 0,275

F B = 3,195.10 6 - 0,803.10 6 7,73 ≅ 310   k N

Resposta

A força exercida pela plataforma é F B = 310   k N .

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