Enunciado

O foguete lançado verticalmente e o radar de rastreamento do Prob. 2/147 são apresentados aqui novamente. No instante em que θ = 60 ° , as medidas fornecem θ ˙ = 0,03   r a d / s e r = 7500   m , e a aceleração vertical do foguete é encontrada como a = 20   m / s ² . Para esse instante determine os valores de r ¨ e θ ¨ .

Passo 1

Nosso objetivo é calcular r ¨ e θ ¨ no instante em que θ = 60 ° . Existem duas direções importantes no movimento que nós precisamos definir:

r ^ é o vetor unitário que aponta na direção em que r cresce, e θ ^ é o vetor unitário que aponta na direção em que o ângulo θ ^ cresce.

O grande segredo dessa questão é perceber que o ângulo θ que o radar forma com a horizontal é igual ao ângulo entre θ ^ e v → ! Dê uma olhada nesse desenho para entender porque isso acontece:

A partir daqui só temos que fazer algumas contas simples.

Passo 2

Vamos lembrar da expressão para o vetor velocidade em coordenadas polares:

v → = r θ ˙     θ ^ + r ˙   r ^

E já que nós temos o ângulo θ entre v → e θ ^ , podemos afirmar o seguinte:

v   c o s θ = r θ ˙

v cos ⁡ 60 ° = ( 7500 ) ( 0,03 )

v = 450   m / s

E a outra componente da velocidade é:

v sen ⁡ θ = r ˙

450 sen ⁡ 60 ° = r ˙

r ˙ = 389,7   m / s

Ok, agora vamos ver a aceleração.

Passo 3

Lembrando que θ ^ ˙ = - θ ˙ r ^ e r ^ ˙ = θ ˙ θ ^ , podemos derivar a expressão da velocidade para achar a aceleração:

v → = r θ ˙     θ ^ + r ˙   r ^

a → = r ˙ θ ˙ θ ^ + r θ ¨ θ ^ - r θ ˙ 2 r ^ + r ¨ r ^ + r ˙ θ ˙ θ ^

a → = 2 r ˙ θ ˙ + r   θ ¨ θ ^ + r ¨ - r θ ˙ 2 r ^

Beleza, agora (já que o vetor aceleração é paralelo à velocidade) vamos seguir o mesmo procedimento de antes:

a cos ⁡ θ = 2 r ˙ θ ˙ + r   θ ¨

a sen ⁡ θ = r ¨ - r θ ˙ 2

E agora vamos substituir os valores numéricos que já temos:

20 cos ⁡ 60 ° = 2 389,7 0,03 + ( 7500 ) ( θ ¨ )

20 sen ⁡ 60 ° = r ¨ - 7500 0,03 2

Ótimo! A primeira equação dá o valor de θ ¨ e a segunda dá de r ¨ . Resolvendo as duas vamos achar:

θ ¨ = - 1,784   .   10 - 3   r a d / s 2

r ¨ = 24,1   m / s 2

Resolvido!

Resposta

r ¨ = 24,1   m / s 2 e θ ¨ = - 1,784   .   10 - 3   r a d / s 2 .

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