Enunciado

O cilindro A tem uma velocidade constante para baixo de 1   m / s . Calcule a velocidade do cilindro B para (a) θ = 45 ° , (b) θ = 30 ° , (c) θ = 15 ° . A mola está sob tração durante toda a faixa de interesse do movimento, e as polias estão conectadas pelo cabo de comprimento fixo.

Passo 1

A chave para resolver esse problema está no enunciado: “conectadas por um cabo de comprimento fixo”.

Isso é uma dica muito forte de que precisamos achar uma expressão para o comprimento do cabo. Para isso, vamos dar nome a algumas coisas:

Vamos dizer que H é a altura do ponto onde o o cabo do cilindro A está preso ao teto, e que h A é a altura do cilindro A em um momento qualquer.

Além disso, vamos dizer que x B é a distância entre a “curva” e o cilindro B .

Passo 2

Agora vamos usar a imagem para tentar achar a expressão para o comprimento do cabo.

Repare que o cabo dá duas voltas no trajeto A B , mas só uma entre o teto e o cilindro A , então:

L = H - h A + ( 2 ) ( A B )

E para expressar o comprimento desse trajeto A B é só usar o teorema de pitágoras:

A B = x B 2 + h A 2

L = H - h A + ( 2 ) x B 2 + h A 2

Beleza, agora vem a parte importante: vamos derivar essa expressão em relação ao tempo. Quando fizermos isso, todos os termos que são constantes ( L e H ), vão sumir:

d d t ( L ) = d d t H - h A + ( 2 ) x B 2 + h A 2

0 = - h ˙ A + 2 d d t x B 2 + h A 2

Vamos aplicar a regra da cadeia para calcular a derivada daquela raiz quadrada:

d d t x B 2 + h A 2 = 1 2   d d t ( x B 2 + h A 2 ) x B 2 + h A 2

E para resolver aquela derivada do numerador também precisamos usar a regra da cadeia:

1 2   d d t ( x B 2 + h A 2 ) x B 2 + h A 2 = 1 2   ( 2 x B x ˙ B + 2 h A h ˙ A ) x B 2 + h A 2 = ( x B x ˙ B + h A h ˙ A ) x B 2 + h A 2

E então vamos ficar com a seguinte expressão:

0 = - h ˙ A + 2 x B x ˙ B + h A h ˙ A x B 2 + h A 2

Mas essas derivadas temporais são as velocidades, ou seja: x ˙ B = v B e h ˙ A = v A :

v A = 2 x B v B + h A v A x B 2 + h A 2

Beleza, já chegamos em uma fórmula interessante.

Passo 3

O objetivo da questão é encontrar v B para diferentes valores de θ . Pela figura dá pra ver que:

tan ⁡ θ = h A x B

Então vamos tentar organizar nossa fórmula de forma que aparece um termo como esse.

v A = 2 x B v B + h A v A x B 2 + h A 2

v A x B 2 + h A 2 = 2 x B v B + h A v A

v A h A 2 1 + x B 2 h A 2 = 2 x B v B + h A v A

h A v A 1 + x B 2 h A 2 = 2 h A x B v B h A + v A

E agora podemos cortar o h A :

v A 1 + x B 2 h A 2 = 2 x B v B h A + v A

E isolar o v B fica bem mais simples:

x B v B h A = 1 2 v A 1 + x B 2 h A 2 - v A

x B v B h A = v A 2 1 + x B 2 h A 2 - 2

v B = t a n ⁡ ( θ ) v A 2 1 + 1 tan 2 ⁡ θ - 2

Beleza, estamos prontos para substituir alguns valores.

Passo 4

Vamos ver o que acontece com a t a n ⁡ ( θ ) em cada caso:

a           θ = 45 °         ⇒         tan ⁡ θ = 1

b         θ = 30 °         ⇒       tan ⁡ θ = 1 / 3

c   θ = 15 °         ⇒       tan ⁡ θ ≅ 0,268

Então, sabendo que v A = - 1   m / s , vamos substituir alguns valores.

(a)

v B = - 1 2 1 + 1 - 2 = 0,293   m / s

(b)

v B = - 1 2 3 1 + 3 - 2 = 0

(c)

v B = - 0,134 1 + 13,93 - 2 = - 0,250   m / s

Agora sim, conseguimos!

Resposta

(a) v B = 0,293   m / s

(b) v B = 0

(c) v B = - 0,250   m / s

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