Enunciado

Foi assumido na SEC.4.4 , que as tensões normais σ y em um membro em flexão pura são desprezadas. Para um membro elástico, de seção transversal retangular, inicialmente reto, pede-se:

  1. Derivar uma expressão aproximada para σ y , como uma função de y;
  2. Mostrar que σ y ( m a x ) = - c σ x m a x 2 ρ e, então, que σ y pode ser desprezado em todas as situações práticas.

[Sugestão: Considerar o diagrama de corpo livre da porção da viga localizada abaixo da superfície de ordenada y e assumir que a distribuição de tensões σ x é sempre linear.]

Passo 1

Começando com o cálculo do comprimento da região encurvada, podemos definir que a mesma será dada por:

L = ρ θ

Com isso temos que o ângulo da região encurvada é dado por:

θ = L ρ

Supondo a espessura da chapa como sendo b , podemos fazer o somatório de forças na direção y, com isso teremos que:

  • ∑ F y = 0
  • Supondo o comprimento da barra como L e largura da barra como sendo b , podemos analisar cada estrutura da seguinte maneira.

  • Força na direção Y devido a tensão em y

F y = σ y b L

E como a tensão x sofre uma variação, precisamos usar uma integração, que vária do ponto mais baixo da estrutura ( y = - c ) até y = y .

E ainda temos que lembrar de decompor a tensão em x:

Com isso teríamos que:

F y = σ x s e n θ 2 b d y → - c ; y

E temos que tomar cuidado, poie temos tensão em x no lado esquerdo e no lado direito, ou seja, essas duas tensões geraram duas forças, com isso teremos que:

F y = 2 σ x s e n θ 2 b d y → - c ; y

E para podermos pegar a variação entre - c   e   y , precisamos de uma integral.

∑ F y = 0

σ y b L + ∫ - c y 2 σ x s e n θ 2 b d y = 0

σ y b L = - 2 s e n θ 2 b ∫ - c y σ x d y

σ y = - 2 L s e n θ 2 ∫ - c y σ x d y

E como o ângulo é pequeno, podemos definir a seguinte aproximação:

2 s e n θ 2 ≅ θ

Com isso teremos que:

σ y = - θ L ∫ - c y σ x d y

E sabemos que:

θ = L ρ

Substituindo teremos que:

σ y = - L ρ L ∫ - c y σ x d y

σ y = - 1 ρ ∫ - c y σ x d y

Uma relação importante que precisamos saber, é uma relação entre a tensão máxima na direção x e a tensão atuante, que é dada por:

σ x = - y c σ m

σ x = - y c σ x ( m a x )

E porque fazemos isso? Porque a nossa integral está em função de y,e com isso passamos a ter uma tensão em função de y também, substituindo teremos que:

σ y = - 1 ρ ∫ - c y - y c σ x ( m a x ) d y

σ y = σ x ( m a x ) ρ c ∫ - c y y   d y

Resolvendo a integral teremos que:

σ y = σ x ( m a x ) ρ c   . y 2 2   y - c

σ y = σ x ( m a x ) ρ c   . y 2 2 - - c 2 2

σ y = σ x ( m a x ) 2 ρ c   . y 2 - c 2

E assim resolvemos o nosso item A) calculando uma tensão em y em função da direção y.

Passo 2

No item B) queremos o máximo valor da tensão em y, e para termos a máxima tensão na direção y, precisamos ter que:

y = 0  

Substituindo na nossa equação teremos que:

σ y = σ x ( m a x ) 2 ρ c   . y 2 - c 2

σ y m a x = σ x ( m a x ) 2 ρ c   . 0 - c 2

σ y m a x = - σ x ( m a x ) c 2 2 ρ c

σ y m a x = - c   .     σ x ( m a x ) 2 ρ

Resposta

  • Item a)
  • σ y = σ x ( m a x ) 2 ρ c   . y 2 - c 2

  • Item b)

σ y m a x = - c   .     σ x ( m a x ) 2 ρ

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