Enunciado

Uma barra prismática AB é construída de uma liga de alumínio para a qual a curva de tensão-deformação específica em tração é mostrada na figura. Considerando que a curva de σ em função de ϵ é a mesma em compressão e em tração, determin (a) o raio de curvatura da barra quando a tensão máxima é de 250 MPa e (b) o valor correspondete do momento fletor. (Sugestão: Para a parte b, construa uma curva de σ em função de y e use um método aproximado de integração.)

Passo 1

Inicialmente do enunciado nós temos

σ m = 250   M P a = 250 × 10 6 P a

Com isso podemos verificar o gráfico e encontrar o valor de ε m

Observa que tracei uma reta em σ = 250   M P a , e no gráfico encontramos um valor muuuito levemente acima de 0,006 para ε . Então

ε m = 0,0064

Para o c teremos

c = h 2

Como a altura de nossa barra é de 60mm

c = 60 2 = 30 m m = 0,030 m

O valor de b nos foi passado que éa espessura da barra

b = 40 m m = 0,04 m

Com isso temos então, para encontrarmos o raio de curvatura:

1 ρ = ε m c = 0,0064 0,03 = 0,21333 m - 1

ρ = 4,69   m

Passo 2

O cálculo do momento fletor pode ser meio chatinho, mas uma vez que você entende o passo a passo, já era. Primeiramente temos a relação

ε = - ε m y c

Vamos chamar y c de U simplesmente por ser comum encontramos assim nos livros didáticos.

Temos então para o momento

M = - ∫ - c c y σ b   d y = 2 b ∫ 0 c y σ   d y = 2 b c 2 ∫ 0 1 U σ   d U = 2 b c 2 J

Lembre-se que fiz essa substituição final por que J nos é dado por ∫ 0 1 U σ   d U .

Passo 3

Usando a regra de Simpson, a fórmula da integral fica

J = Δ U 3 ∑ w U σ

Onde w é o carregamento. Usando Δ U = 0,25 ,   encontramos alguns valores que tabelei abaixo.

O somatório dos valores de w U σ   na tabela nos dá 1215 .

Então o calculo de J fica

J = Δ U 3 ∑ w U σ = 0,25 3 × 1215 = 101,25   M P a = 101,25 × 10 6 P a

Então pra fechar a questão e encontrarmos M

M = 2 b c 2 J = 2 0,04 0,03 2 101,25 × 10 6 = 7,29 × 10 3 N . m = 7,29   k N . m

Resposta

a ) ρ = 4,69   m  

b )   M = 7,29   k N . m

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