Enunciado

A força de 180   l b é aplicada no ponto A do suporte. Determine os momentos desta força sobre o ponto B, sobre o ponto C e sobre a linha B C - .

Passo 1

Fala galera! Tudo certo? Vamos dividir a resolução em algumas etapas, beleza? Prometo que vai ser bem rapidinho!

O enunciado nos pede três coisas:

i) Determinar o momento da força de 180   l b sobre o ponto B ( M B → );

ii) Determinar o momento da força de 180   l b sobre o ponto C ( M C → );

iii) Determinar o momento da força de 180   l b sobre a linha B C - ( M B C → ).

Show, então bora lá! Antes de calcular o momento M B → exercido pela força sobre o ponto B, precisamos definir a força na forma vetorial e o vetor distância do ponto A de aplicação da força até o ponto B. Calma que é bem tranquilo!

Para decompor a força, temos que lembrar que ela está sendo aplicada em um plano paralelo ao plano x - y e, portanto, só tem componentes nas direções i ^ e j ^ . Fazendo então a projeção da força de 180   l b nesses eixos, temos:

F → = - 180 cos ⁡ 60 ° i ^ - 180 sen ⁡ ( 60 ° ) j ^   l b

Usaremos esse valor de F → para os nossos três cálculos.

Passo 2

Show de bola! O próximo passo é calcular o vetor distância do ponto A de aplicação da força até B, aqui só precisamos somar vetorialmente cada um dos segmentos que ligam o ponto A ao ponto B:

r B A → = 15 sen ⁡ 45 ° i ^ + - 13 - 15 cos ⁡ 45 ° j ^ + - 12 k ^   i n

r B A → = 10,6 i ^ - 23,6 j ^ - 12 k ^   i n

Boa! Agora temos tudo que precisamos para calcular o momento sobre o ponto B:

M B → = r B A → × F →

M B → = 10,6 i ^ - 23,6 j ^ - 12 k ^   i n × - 180 cos ⁡ 60 ° i ^ - 180 sen ⁡ ( 60 ° ) j ^   l b

M B → = - 1653,94 k ^ - 2124 k ^ + 1080 j ^ - 1870,61 i ^   l b ∙ i n

M B → = - 1871 i ^ + 1080 j ^ - 3780 k ^   l b ∙ i n

Passo 3

Feito isso para o ponto B, precisamos repetir os mesmos passos para o ponto C. Vamos começar pelo vetor distância do ponto A ao ponto C, mesmo esquema, só somar vetorialmente cada um dos segmentos:

r C A → = 15 sen ⁡ 45 ° - 6 i ^ + - 13 - 15 cos ⁡ 45 ° j ^ + 0 k ^   i n

r C A → = 4,6 i ^ - 23,6 j ^ + 0 k ^   i n

Com isso, a gente tem tudo que precisa para calcular o momento sobre o ponto B:

M C → = r C A → × F →

M C → = 4,6 i ^ - 23,6 j ^ + 0 k ^   i n × - 180 cos ⁡ 60 ° i ^ - 180 sen ⁡ ( 60 ° ) j ^   l b

M C → = - 717 k ^ - 2124 k ^ + 0   l b ∙ i n

M C → = - 2840 k ^   l b ∙ i n

Passo 4

Ainda tem coisa pra fazer?

Calma que tá acabando galera! Último passo é calcular o momento da força de 180   l b sobre a linha B C - ( M B C → ). Neste caso vamos usar a Eq. 2/16:

M → = r → × F → ∙ n ^ n ^

Ou ainda:

M B C → = r → × F → ∙ n ^ B C n ^ B C

Este produto vetorial r → × F → já foi calculado nos passos 2 e 3 para os momentos M B → e M C → . Uma vez que estamos tratando exatamente do momento sobre a linha B C - , tanto faz a gente usar M B → ou M C → no cálculo do momento, como o resultado encontrado pro M C → foi mais simples, vamos escolher ele.

r → × F → = M C → = - 2840 k ^

O vetor unitário n ^ B C , por sua vez, pode ser definido como:

n ^ B C = B C → B C

n ^ B C = 0 - 6 i ^ + 0 j ^ + 12 - 0 k ^ 0 - 6 2 + 0 2 + 12 - 0 2

n ^ B C = - 6 6 5 i ^ + 0 j ^ + 12 6 5 k ^

n ^ B C = - 1 5 i ^ + 2 5 k ^

Agora é só substituir na nossa equação de M B C → :

M B C → = - 2840 k ^ ∙ - 1 5 i ^ + 2 5 k ^ - 1 5 i ^ + 2 5 k ^

M A B → = 2540 + 0 - 1 5 i ^ + 2 5 k ^

M A B → = - 1136 i ^ + 2272 k ^   l b ∙ i n

E o seu módulo vale:

M A B = 2.540   l b ∙ i n

Ufa! Essa já foi hein? Partiu pra próxima!

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Resposta

M B → = - 1871 i ^ + 1080 j ^ - 3780 k ^   l b ∙ i n

M C → = - 2840 k ^   l b ∙ i n

M A B = 2.540   l b ∙ i n

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