Enunciado

Uma força de 20N é aplicada ao cabo que faz a bobina de raio de giração rg=0,42m e massa de 175kg girar sobre os rolos A e B, sem deslizar. Determinar sua velocidade angular ao completar duas revoluções, saindo do repouso. Os rolos podem ser considerados cilindros de raio de 0,1m e a massa do cabo pode ser desprezada.

Passo 1

Analisando as reações ocorrendo no sistema, temos:

Onde Pa e Pb são os pesos dos rolos A e B, respectivamente. Temos que pela lei da conservação de energia, a soma de todas energias presentes no sistema no início, será igual a soma de suas energias no final, como o sistema sai do repouso no instante 1, e depois passa a ter movimento até o estágio 2, onde terá apenas energia cinética, temos:

T t o t a l 1 + ∑ U 1 - 2 = T t o t a l 2

Assim, sabendo que no estágio 1 o sistema está em repouso, temos:

0 + ∑ U 1 - 2 = T t o t a l 2

Logo,

∑ U 1 - 2 = T t o t a l 2

Passo 2

Tendo isso, podemos organizar a equação como:

2 × P × 2 π × r p = T g + T a + T b

Onde rp é o raio formado pela linha de ação da força e o centro G da bobina, Tg, Ta e Tb são as energias cinéticas da bobina, e dos rolos A e B, respectivamente. Porém, como os rolos possuem simetria, e neste caso, pelas condições, suas energias cinéticas serão iguais, logo:

2 × P × 2 π × r p = T g + 2 T a

Ou

2 × P × 2 π × r p = T g + 2 T b

Para a energia cinética da bobina, temos:

T g = 1 2 × m × k G ² × ω ²

Para os rolos, temos:

T a = 1 2 × m a × ( r a × ω a ) ²

Logo teremos:

2 × P × 2 π × r p = 1 2 × m × k G 2 × ω 2 + 2 1 2 × m a × r a × ω a 2

Substituindo os valores, temos:

2 × 20 × 2 π × 0,25 = 1 2 × 175 × 0,42 2 × ω 2 + 2 1 2 × 18 × 0,1 × ω a 2

Assim, temos:

62,832 = 15,435 × ω 2 + 0,18 × ω a 2             ( 1 )

Passo 3

Porém, sabemos que na interface entre a bobina e os rolos temos a mesma velocidade tangencial, temos que:

v = ω a × r a = ω × r g

Portanto

ω a × 0,1 = ω × 0,5

ω a = 0,5 0,1 ω = 5 ω

substituindo o valor de ωa em (1), temos:

62,832 = 15,435 ω 2 + 0,18 × ( 5 ω ) 2

62,832 = 15,435 ω 2 + 4,5 ω 2

62,832 = 19,935 × ω 2

Com isso, temos:

ω = 62,832 19,935 = 1,78 r a d / s

Resposta

A velocidade angular da bubina será de 1,78rad/s, após 2 revoluções em torno de seu centro G. E isso também implica que a velocidade angular dos rolos será 5 vezes maior, como já vimos anteriormente.

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