Enunciado

Uma força axial centrada P e uma força horizontal Q são aplicadas ao ponto C da barra de seção retangular mostrada na figura. Uma roseta de deformação de 45° na superfície da barra no ponto A indica as seguintes deformações:

ϵ 1 = - 60   μ ;                   ϵ 2 = + 240   μ ;                   ϵ 3 = + 200   μ

Sabendo que E = 200 GPa e ν = 0,3 , determine as intensidades de P e Q x .

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos precisar descobrir as tensões normais nas direções x e y, que serão dadas por:

σ x = E 1 - ν 2 ϵ x + ν ϵ y ;                     σ y = E 1 - ν 2 ϵ y + ν ϵ x

A partir da tensão normal em y, poderemos encontrar a força P aplicada. Então, para achar a força Q x vamos partir para a análise do cisalhamento, onde teremos a tensão de cisalhamento dada por:

τ x y = V Q I t

Em que V é a força de cisalhamento (nossa força Q x ), Q é o momento de área da seção, I o momento de inércia e t a espessura da seção naquele ponto. Então, para isso vamos precisar calcular todos esses termos, depois é só isolar V e descobrir nosso valor de Q x . Então bora lá!

Passo 2

Tá legal! Vamos começar escrevendo as deformações nas direções x e y através da roseta dada na figura e das deformações fornecidas, então teremos:

ϵ x = ϵ 1 = - 60   μ

ϵ y = ϵ 3 = 200   μ

E a nossa deformação de cisalhamento será dada por:

γ x y = 2 ϵ 2 - ϵ 1 - ϵ 3 = 2 240 - - 60 - 200 → γ x y = 340   μ

Agora podemos calcular o valor da tensão normal na direção x, que conforme vimos no passo 1, será dada por:

σ x = E 1 - ν 2 ϵ x + ν ϵ y

Substituindo os valores conhecidos, temos:

σ x = 200.10 9 1 - 0,3 2 - 60.10 - 6 + 0,3 200.10 - 6 → σ x = 0

Agora, vamos calcular a tensão normal na direção y, através de:

σ y = E 1 - ν 2 ϵ y + ν ϵ x

Substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

σ y = 200.10 9 1 - 0,3 2 20 0.10 - 6 + 0,3 - 60.10 - 6 → σ y = 40   M P a

Então, sabendo que a tensão é dada pela força sobre área, na direção y teremos:

σ y = P A

Isolando P dessa equação e substituindo os valores conhecidos, temos:

P = σ y A = 40 . 10 6 2 0,0254 2 0,0762

P = 309,7   k N

Boa, encontramos o valor de P. Agora vamos começar a caçada pelo valor de Q x .

Passo 3

Então, para encontrar nossa força Q x , iremos utilizar a equação vista no passo 1, dada por:

τ x y = V Q I t

Sendo que V = Q x . Então vamos começar calculando o momento de inércia da seção, que será dado por:

I = b h 3 12 = 2 0,0254 2 0,0762 3 12 → I = 14,984.10 - 6   m 4

Agora, o momento de área, que será dado pela metade da seção transversal, já que a força está aplicada no centro da seção, então teremos:

Q = A y - = 2 0,0254 0,0762 0,0762 2 → Q = 147,48.10 - 3   m 3

Agora, a espessura da seção será a própria largura dela, ou seja:

t = 2 0,0254 → t = 0,0508   m

Agora falta só descobrir o valor da tensão de cisalhamento, para isso, sabemos que ela pode ser escrita como:

τ x y = G γ x y

Já temos a deformação de cisalhamento γ x y vista lá no passo 2. Precisamos agora do módulo de cisalhamento, que por sua vez é dado por:

G = E 2 1 + ν = 200.10 9 2 1 + 0,3 → G = 76,92.10 9   M P a

Então, nossa tensão de cisalhamento será:

τ x y = 76,92.10 9 340.10 - 6 → τ x y = 26,15   M P a

Então, isolando a força cortante V, que é a nossa Q x , da equação para a tensão de cisalhamento, teremos:

V = Q x = τ x y I t Q

E, substituindo os valores conhecidos, chegamos em:

Q x = 26,15.10 6 14,984.10 - 6 0,0508 147,48.10 - 6 → Q x = 134,97   k N

Shoow! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

P = 309,7   k N

Q x = 134,97   k N

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