Enunciado

Para a viga e o carregamento mostrados, e usando um computador e funções degrau, (a) organize uma tabela de força cortante, momento fletor e tensão normal máxima em seções da viga de x = 0 a x = L , usando os incrementos Δ L indicados e (b) usando incrementos menores, se necessário, determine com 2% de precisão a tensão normal máxima na viga. Coloque a origem do eixo x na extremidade A da viga.

Passo 1

Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:

Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto D e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:

+ ↺ ∑ M D = 0

- R A 5 + 3 2 3 + 1 + 5 3 1,5 + 3 ( 1,5 ) = 0

5 R A = 51 → R A = 10,2   k N

Agora podemos escrever o carregamento distribuído, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:

w = 3 + 5 - 3 < x - 2 > 0

w = 3 + 2 < x - 2 > 0

Passo 2

Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:

V = - ∫ w d x

Substituindo a expressão para w e resolvendo a integral, chegamos em:

V = - ∫ 3 + 2 < x - 2 > 0 d x

V = - 3 x - 2 < x - 2 > 1 + C

A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos a força de apoio R A em A e a força de 3 kN aplicada sobre o ponto C, então nossa constante será:

C = R A - 3 < x - 3,5 > 0 → C = 10,2 - 3 < x - 3,5 > 0

Então, nossa equação para a força cortante será:

V = - 3 x - 2 < x - 2 > 1 + 10,2 - 3 < x - 3,5 > 0

Passo 3

Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:

d M d x = V

Isolando as variáveis dessa equação, temos:

d M = V d x

Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:

∫ d M = ∫ V d x

Agora, substituindo a expressão encontrada para V no passo 1, a equação acima se torna:

M = ∫ - 3 x - 2 < x - 2 > 1 + 10,2 - 3 < x - 3,5 > 0 d x

Resolvendo a integral, teremos:

M = - 3 2 x 2 - 2 2 < x - 2 > 2 + 10,2 x - 3 < x - 3,5 > 1 + C

Em que C é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:

C = 0

Então a equação do momento será:

M = - 1,5 x 2 - < x - 2 > 2 + 10,2 x - 3 < x - 3,5 > 1

Passo 4

Beleza! Nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:

σ = M c I

No nosso caso, temos uma viga W200 X 22,5, então vamos ter que recorrer ao apêndice C para pegar suas propriedades. Precisamos do momento de inércia e da altura da viga, já que a distância c para obter a tensão máxima será metade da altura da viga, pois as maiores tensões estarão na extremidade. Então teremos:

I = 20.10 6   m m 4

h = 206   m m

Dessa forma, substituindo os valores conhecidos, nossa tensão máxima será dada por:

σ m a x = M 0,206 2 20.10 6 . 10 - 12 → σ m a x = 5150 M

Então, agora temos todas as equações que precisamos, de força cortante, momento fletor e da tensão máxima. Agora, com o auxílio do computador, calculando o valor da força cortante e do momento fletor em cada um dos pontos, começando de x = 0   m com incremento de Δ L = 0,25   m , e calculando também a tensão máxima em cada um desses pontos, teremos a seguinte tabela de valores:

Opa! A letra (a) acabou aqui! Bora pra letra (b) agora!

Passo 5

Agora, para a letra (b), devemos encontrar a tensão normal máxima da viga, com uma precisão de 2%. Para isso, primeiro vamos olhar a tabela que valores que encontramos no passo 4. Lá podemos ver que o maior valor de tensão encontrado foi de:

σ m a x = 83,6   M P a

E na posição:

x = 2,75   m

Podemos ver que antes desse ponto, tínhamos:

x = 2,5   m → σ m a x = 82,3   M P a

E após, temos:

x = 3   m → σ m a x = 83,4   M P a

Então, podemos ver que o ponto de máximo está após x = 2,75   m e antes de x = 3   m . Dessa forma, com o auxílio das equações que encontramos anteriormente, se calcularmos a tensão para vários pontos nesse intervalo, chegaremos na tensão máxima de:

σ m a x = 83,8   M P a

E temos esse valor de tensão para a posição x = 2,83   m .

Resposta

b :   σ m a x = 83,8   M P a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga.
A viga mostrada na figura é feita de náilon para o qual a tensão admissível é de 24M p a em tração e de 30M p a em compressão. Determine o maior momento fletor M que pode ser aplicado à viga.
Duas forças verticais são aplicadas à viga com a seção transversal mostrada na figura. Determine as tensões de tração e de compressão máximas na parte BC da viga.
Sabendo que a viga de seção transversal mostrada na figura é flexionada em torno do eixo horizontal e que o momento fletor é de 6 k N m , determine a força total que atua na parte sombreada de sua alm
Sabendo que, para a viga mostrada na figura a tensão admissível é de 82,7 Mpa em tração e de 110,3 Mpa em compressão, determine o maior momento fletor M que lhe pode ser aplicado.