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A força de flutuação no balão e 500   k g é F = 6   k N , e a resistência do ar é F D = 100 v N , onde v é dado em m / s . Determine a velocidade terminal ou máxima do balão se ele parte do repouso.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que temos no nosso problema. O balão possui uma força para cima constante e uma força de resistência do ar que é diretamente proporcional a sua velocidade e a empurra para baixo. A partir de um determinado momento, será atingido um equilíbrio de forças.

Pronto, é isto o que precisamos determinar. Precisamos determinar a velocidade responsável por este equilíbrio.

Passo 2

Vamos determinar inicialmente a aceleração vertical do balão. Desta forma, temos:

↑ ∑ F y = m ⋅ a y

F - F D - P = m ⋅ a y

6000 - 500 ⋅ 9,81 - 100 v = 500 ⋅ a

a = 2,19 - 0,2 v

Passo 3

Agora que determinarmos a aceleração como função da velocidade, para determinarmos a velocidade terminal, temos que analisar o que acontece quando t → ∞ . Para isto, precisamos desenvolver a seguinte equação diferencial:

a = d v d t = 2,19 - 0,2 v

d v 2,19 - 0,2 v =   d t

Integrando, obteremos:

∫ 0 v d v 2,19 - 0,2 v = ∫ 0 t   d t

- 1 0,2 ⋅ ln ⁡ 2,19 - 0,2 v 0 v = t

t = 5 ln ⁡ 2,19 2,19 - 0,2 v  

e t / 5 = 2,19 2,19 - 0,2 v

v = 10,95 ⋅ 1 - e - t 5

Quando t → ∞ , temos:

v = 10,95   m / s

Portanto, esta é a velocidade terminal do balão!

Resposta

v = 10,95   m / s

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