Enunciado

Um dos mais avançados métodos para cortar placas metálicas utiliza um jato da água em alta velocidade que carreia um pó abrasivo de granada. O jato escoa a partir do bocal de 0,25   m m de diâmetro em A e segue a trajetória indicada através da espessura t da placa. Conforme a placa é lentamente deslocada para a direita, o jato executa um rasgo estreito de precisão na placa. A mistura água-abrasivo é usada à taxa baixa de 2 10 - 3   m 3 / m i n e possui uma massa específica de 1100   k g / m 3 . A água escoa da parte inferior da placa com uma velocidade que é 60 % da velocidade imposta pelo bocal. Calcule a força horizontal F necessária para manter a placa contra o jato.

Passo 1

Nós podemos descobrir a força F olhando para a diferenças entre as velocidades no início e no final:

∑ F x = m ' Δ v x

Então vamos começar procurando uma expressão para essas velocidades. Começando para a velocidade v 1 da água antes de “fazer a curva”:

Q = A v 1

Onde Q é o volume de água que entra no sistema por unidade de tempo, e já foi dada no enunciado.

Q = 2 10 - 3 m 3 m i n = 2.10 - 3 60 m 3 s ≅ 3,33.10 - 5   m 3 / s  

v 1 = Q A = 3,33.10 - 5 π 0,00025 2 2 = 678,38   m / s

E como a velocidade “após a curva” é 60 % da velocidade inicial:

v 2 = 0,6   v 1 = 407,03   m / s

Passo 2

E agora podemos voltar à primeira equação que escrevemos:

∑ F = F x = m ' Δ v x

Podemos obter a taxa de escoamento de massa a partir de Q :

m ' = ρ Q = 1100 3,33.10 - 5 = 0,03663   k g / s

E agora é só substituir na fórmula de cima, mas lembrando que precisamos “projetar” as forças e as velocidades na mesma direção:

F x = F

v 1 x = - v 1 sen ⁡ 30 °

v 2 x = v 2 sen ⁡ 45 °

F = 0,03663 v 2 sen ⁡ 45 ° - - v 1 sen ⁡ 30 °

F = 0,03663 407,03 2 2 + 678,38 1 2

F ≅ 23,0   N

Pronto!

Resposta

A força horizontal necessária é aproximadamente F = 23,0   N .

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