Enunciado

Se a força do motor M sobre o cabo é mostrada no gráfico, determine a velocidade do carrinho quando t = 3   s . A carga e o carrinho têm massa de 200   k g e o carrinho parte do repouso.

Passo 1

Temos um problema que envolve polias! Ao fazermos o corpo livre do nosso carrinho, precisamos considerar o efeito da força F sobre cada um dos trechos de corda. Como estamos relacionando forças com velocidades, aliaremos os nossos conhecimentos de cinemática com cinética!

Sendo assim, precisamos tomar um grande cuidado nesse problema! O carrinho está sujeito a uma força crescente. Entretanto, como ele parte do repouso v = 0 , ele só começará a andar quando o somatório das forças for maior que a componente do peso! Portanto, precisamos descobrir o período do tempo em que isto ocorre!

Passo 2

Vamos começar fazendo o diagrama de corpo livre do nosso carrinho. Como temos três trechos de corda, temos:

Como queremos analisar o deslocamento do carrinho ao longo do plano inclinado, temos:

↗ ∑ F x = m e i x o a

3 F - P sen ⁡ θ = 200 a  

Como a força é dada pela reta do gráfico, sabemos que F = 150 t , portanto,

450 t - m g sen ⁡ 30 = 200 a

a = 2,25 t - 4,905

Passo 3

Agora que descobrimos uma função para a aceleração, precisamos descobrir a partir de que tempo ela é positiva. Isto é, a partir de que tempo a força do motor consegue superar a componente do peso, fazendo com que o carrinho comece a se deslocar! Sendo assim, temos:

a = 2,25 t - 4,905 > 0

t > 2,18 s

Portanto, o carrinho só será deslocado de 2,18   s até 3   s .

Passo 4

Agora que trabalhamos com a cinética, vamos voltar para a cinemática. Como obtemos a aceleração em função do tempo, basta integrarmos diretamente para obtermos a velocidade. Logo,

∫ 0 v d v = ∫ 2,18 3 a   d t

∫ 0 v d v = ∫ 2,18 3 2,25 t - 4,905   d t

v = 2,25 t 2 2 - 4,905 t 2,18 3

v = 0,756   m / s

Resposta

v = 0,756   m / s

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