Enunciado

A haste é feita de aço A- 36 e tem diâmetro de 6   mm . Se as molas forem comprimidas 12   mm quando a temperatura da haste é T = 10   ° C , determine a força na haste quando sua temperatura for T = 75   ° C .

Passo 1

Fala, vamos entender a situação.

Uma haste de aço é mantida entre duas molas. Essas molas tem uma deformação incial. A haste sofre uma mudança de temperatura Δ T . Essa mudança aumenta a haste, comprimindo ainda mais as molas. Ele quer a força final nas molas, resultado dessas duas deformações.

Características da haste:

  • Aço: E = 200   GPa , α = 12 10 - 6   ° C - 1 . (tabelado)
  • Área transversal: A = π d 2 / 4 = 28,274   mm .
  • Comprimento inicial: L = 1,2   m .
  • Temperatura inicial: T 1 = 10   ° C . Temperatura final: T 2 = 75   ° C .
  • Rigidez das molas nas extremidades: k = 200   N/mm (considere essa unidade!)

As molas que dão suporte à haste já estão pressionadas um comprimento x 0 = 12   mm , o que causa uma certa compressão na haste como resposta.

Quando ocorre a variação de temperatura, Δ T = T 2 - T 1 = 65   ° C , ocorre dilatação térmica na haste. As molas vão resistir esse avanço, aumentando a força de compressão na haste para F .

Queremos descobrir essa força F !

Passo 2

Dois efeitos ocorrem na haste:

  • O aumento de temperatura vai causar uma expansão da haste: δ T .
  • A reação das molas vai comprimir mais o tubo, reduzindo: δ F .

Antes do aquecimento, cada mola já estava comprimida x 0 = 12   mm . Depois do aquecimento, cada mola irá sofrer um deslocamento adicional x da extremidade dela (deflexão).

A força total gerada por uma mola é

F = k δ

F = k ( x + x 0 )

Enfatizando: o x nessa equação é o quanto cada mola foi comprimida depois que a haste foi aquecida e x 0 é a deformação inicial.

Agora, repare no seguinte. Quando a haste se expande, ele aumenta o comprimento nas duas extremidades ao mesmo tempo. Como estamos com as mesmas condições dos dois lados da haste (isso não acontece sempre, cuidado!), em cada lado a haste aumenta x .

Juntando tudo isso numa equação de compatibilidade: o tubo aumenta δ T , reduz δ F , resultando em um aumento de 2 x ( x para cada extremidade).

2 x = δ T - δ F

Repara que a gente não colocou o x 0 ali porque essa equação se refere ao que acontece com a mudança de temperatura.

E por causa de F = k x + x 0 , temos como relacionar x com a força F que a questão pede!

F = k x + x 0     →     x = F k - x 0

Passo 3

Show! Temos fórmulas pra esses deslocamentos!

Expansão térmica:

δ T = α   Δ T   L

Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

Vamos substituir tudo que sabemos pra dar uma facilitada na equação:

2 x = δ T - δ F     →     2 x = α   Δ T   L - F   L A   E

x = F k - x 0     →     2 F k - 2 x 0 = α   Δ T   L - F   L A   E

Isole F :

F = α   Δ T   L + 2 x 0   2 k + L A   E

Passo 4

Agora é só substituir os valores:

F = 12 ⋅ 10 - 6   ⋅ 65   ⋅ 1,2   m + 2 ⋅ 12   mm 2 200   N/mm + 1,2   m 28,274     mm 2 ⋅ 200   GPa  

F = 12 ⋅ 10 - 6   ⋅ 65   ⋅ 1,2   + 2 ⋅ 12 10 - 3 2 200 ( 10 3 ) + 1,2 28,274 10 - 3 ⋅ 20 0 10 9

F = 0,936 ⋅ 10 - 3   m + 24 ⋅ 10 - 3   m 10 ⋅ 10 - 6   m/N + 0,212 ⋅ 10 - 6  m/N

F = 2,442   kN  

Resposta

Força na haste: F = 2,442   kN .

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