Enunciado

Um rebite de aço com 6   mm de diâmetro a uma temperatura de 800   ° C está preso entre duas chapas de tal modo que, nessa temperatura, ele tem 50   mm de comprimento e exerce uma força de aperto de 1,25   kN entre as chapas. Determine o valor aproximado da força de aperto entre as chapas quando o rebite esfriar até 5   ° C . Para o cálculo, considere que as cabeças do rebite e as chapas são rígidas. Considere também α a ç o = 1 4 10 - 6 / ° C , E a ç o = 200   GPa . O resultado é uma estimativa conservadora da resposta real? Justifique sua resposta.

Passo 1

Um rebite está apertando placas rígidas com uma força P = 1,25   kN . Ele sofre uma queda de temperatura de Δ T = 5 - 800 = - 795   ° C .

Características do rebite:

  • Aço: E = 200   GPa , α = 1 4 10 - 6   ° C - 1 .
  • Comprimento inicial: L = 50   m m .
  • Área transversal: A = π ⋅ 6 2 / 4 = 28,274   mm 2

Quando ocorrer a queda de temperatura Δ T = - 795   ° C , o rebite tenderá a diminuir seu comprimento, apertando as chapas. As chapas irão resistir essa compressão com uma força F .

A força total que o rebite faz sobre as chapas ficará como

F T o t a l = P + F

Queremos saber essa força F T o t a l ! Precisamos achar F primeiro.

Passo 2

Dois efeitos ocorrem no rebite:

  • A diminuição de temperatura vai causar uma redução: δ T  
  • A reação das chapas vai estender o rebite: δ F .

Como as chapas são rígidas, o resultado desses efeitos tem que ser zero!

δ T + δ F = 0

Temos fórmulas pra esses deslocamentos! Efeito térmico:

δ T = α   Δ T   L

Perceba que o sinal negativo da redução δ T já vai aparecer a partir da fórmula porque Δ T < 0 .

Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

Show! Vamos resolver essa equação para achar o F .

Passo 3

Só substituir os valores agora.

δ T + δ F = 0           →         14 ⋅ 10 - 6     ° C - 1 ⋅ - 795   ° C ⋅ 50   mm + F ⋅ 50   mm 28,274   mm 2 ⋅ 200   GPa = 0

8,8420 ⋅ 10 - 6   mm/N ⋅ F = 0,5565   mm

F = 62,938   kN

Passo 4

Finalmente, some a força encontrada com a que o rebite já estava fazendo sobre as placas:

F T o t a l = P + F

F T o t a l = 64,19   kN

A questão também pede que analisemos se essa estimativa é conservadora. A resposta é SIM! Não estamos considerando que, na realidade, as chapas e as cabeças do rebite também vão se deformar com a mudança de temperatura. Isso causaria um aperto menor do rebite sobre as chapas do que o total calculado.

Resposta

Força: F T o t a l = 64,19   kN .

Resposta à pergunta:

Sim! Não estamos considerando que, na realidade, as chapas e as cabeças do rebite também vão se deformar com a mudança de temperatura. Isso causaria um aperto menor do rebite sobre as chapas do que o total calculado.

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