Enunciado

A haste de alumínio 2014-T 6 tem diâmetro de 12   mm e está levemente conectada aos apoios rígidos em A e B quando T 1 = 40   ° C . Determine a força P que deve ser aplicada ao colar de modo que, quando T = 0   ° C , a reação em B seja nula.

Passo 1

Uma haste entre apoios A e B é empurrada para direita em C por um carregamento P . A haste também sofre variação de temperatura Δ T = 0 - 40 = - 40   ° C .

Características da haste:

  • Alumínio 2014-T 6 : E = 73,1   GPa , α = 23 10 - 6   ° C .
  • Área transversal: A A B = π ⋅ 12 2 / 4 = 113,097   mm 2
  • Comprimentos iniciais: L A C = 125   mm , L C B = 200   mm .

A variação de temperatura Δ T = - 40   ° C irá causar uma contração da haste. Já o carregamento P irá esticar a seção A C e comprimir a seção C B .

Os suportes irão resistir a esses efeitos com forças F A e F B .

Queremos saber qual valor deve ter o carregamento P para que a força F B seja zero!

Passo 2

O equilíbrio de forças vai envolver F A , F B e P . Vamos partir logo pra compatibilidade! Lá a gente consegue relacionar só as forças que estamos interessados ( F B e P ).

Temos vários efeitos para considerar. Vamos ver as forças primeiro! Mas fique atento com o seguinte: por causa do formato dos suportes, eles irão esticar a haste. A força F A vai apontar para esquerda e a força F B para direita.

Usando o princípio da superposição, olhe para o ponto B .

  • O carregamento P puxa a seção A C para direita, movendo B para direita um comprimento δ P .
  • A reação F B puxa a barra toda ( A C ) para direita, então B vai para a direita um comprimento δ F B .

Além disso, a variação de temperatura Δ T = - 40   ° C irá alterar o comprimento da barra como um todo em δ T (contração)

Como o apoio é rígido em B (não se move), todos esses efeitos tem que se anular:

δ P + δ F B + δ T = 0

Temos fórmulas pra todos esses caras! Relação carga-deslocamento:

δ F = F   L A   E

E expansão/contração térmica:

δ T = α   Δ T   L

Passo 3

Agora substitua todas as fórmulas na condição de compatibilidade, com L = L A C + L C B . Lembre-se que a força F B está atuando para a direita!

P   L A C A   E + F B   L A   E + α   Δ T   L = 0           →         P L A C L + F B + A   E   α   Δ T = 0

Queremos F B = 0 , então vamos fazer isso acontecer agora!

F B = 0           →         P L A C L = - A   E   α   Δ T

O carregamento vai ter que balancear o efeito térmico! Bora pras contas!

P ⋅ 125   mm 325   mm = - 113,097   mm 2 ⋅ 73,1   GPa ⋅ 23 ⋅ 10 - 6   ° C ⋅ - 40   ° C

P = 7,6060   kN 0,3846

P = 19,776   kN

Resposta

Força P : P = 19,776   kN .

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