Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler - Capítulo 8.Problemas - Ex. 57

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desse livro

A haste maciça de 25 mm de diâmetro está sujeita às cargas mostradas na figura. Determine o estado de tensão no ponto B e mostre os resultados em um elemento diferencial localizado nesse ponto

Passo 1

Oi oi, meu xuxuzinho!! Tudo bem com você??

Bom, nosso enunciado nos diz que esse painel recebe uma carga uniforme na sua superfície, e nos pede o estado de tensão nos pontos A e B da seção transversal.

Isso é uma questão típica de esforços combinados. Tem um passo a passo para resolver. Vem que tem mostro!

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular nossas forças internas, ou seja, a normal, os momentos e os cortantes na nossa seção. Para as forças no eixo x :

→ ∑ F x = 0

N x = 375   N  

Agora as forças no eixo y :

↑ ∑ F y = 0

  V y = - 400   N  

E também para o eixo z :

→ ∑ F z = 0

V z = 500   N

Do mesmo modo, podemos obter os momentos em cada eixo, primeiro no eixo x vamos ter que:

↶ ∑ M x = 0

T x = 400 × 0,075

T x = 30   N.m

No eixo y :

↶ ∑ M y = 0

M y = 500 × 0,2 - 375 × 0,075

M y = 71,875   N.m

E por fim no eixo z :

↶ ∑ M z = 0

M z = 400 × 0,2

M z = 80   N.m

Passo 3

Agora, vamos pescar outros dados que são beeeeem importantes pra gente. As características geométricas da nossa seção.

A distância do nosso ponto B até o centro da seção é:

c = d 2 = 12,5   m m

O valor do momento estático do segmento que passa pelo ponto B vai ser o produto entre o centroide de um semicírculo e a área do semicírculo, que dá:

Q b = 2 3 c 2

Q b =   0,0125 2 x 2 3

Momento de inércia:

I = π c 4 4

I =   0,25 π   0,0125 4

Momento polar de inércia:

J = π c 4 2

J =   0,5 π   0,0125 4    

E a coordenada do ponto em z é:

z b = 0,0125   m

Passo 4

Agora que já temos todo o necessário para calcular nossas tensões, por que vamos esperar?? Só bora comigo.

Nosso ponto vai sofrer tensão normal (tração) por causa do esforço normal. E vai sofrer compressão por causa do momento M y . O momento M z não vai gerar tensão porque B está na linha neutra.

σ b =   N A -   M y   z b I

σ b = 375 π   0,0125 2 - 71,875   x   0,0125   0,25 π   0,0125 4

σ b = - 46,1   M P a

O cortante em z não vai gerar cisalhamento em B , porque B está na parte superior da seção em relação a esse esforço. Mas ele sofre cisalhamento por causa da torção e de V y .

τ b = - V y   Q b I t -   τ x   c J  

τ b = - 400   x   0,0125 2 x 2 3 0,25 π   0,0125 4 0,025 -   30   x   0,0125   0,5 π   0,0125 4

τ b = - 10,86   M P a

Repara que esses cisalhamentos estão na mesma direção, por isso que pudemos soma-los. O cisalhamento da torção também acompanha o sentido do momento torçor quando passa por ele.

Aí nosso elemento fica:

Resposta

σ b = - 46,1   M P a

τ b = - 10,86   M P a

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