Enunciado

66. Determine o estado de tensão equivalente se um elemento estiver orientado a 20 ° em sentido horário em relação ao elemento mostrado. Mostre o resultado no elemento.

Passo 1

Da figura do enunciado, tiramos que:

σ x = 3   M P a ,   t e n s ã o   d e   t r a ç ã o

σ y = - 2   M P a ,   t e n s ã o   d e   c o m p r e s s ã o  

τ x y = - 4   M P a ,   a s   s e t a s   c o n v e r g e m   p a r a   o   2 °   e   4 °   q u a d r a n t e

Para construir o nosso famoso Círculo de Mohr a primeira coisa que temos que fazer é determinar o centro do círculo, que será dado através da fórmula da tensão média σ m e d abaixo:

σ m e d = σ x + σ y 2

E substituindo os valores numéricos correspondentes, chegamos à:

σ m e d = 3   M P a - 2   M P a 2

σ m e d = 0,5   M P a   ( C e n t r o   d o   c í r c u l o )

Depois, a próxima coisa que temos que fazer é achar o raio R do círculo através da fórmula da tensão máxima de cisalhamento τ m á x , que é dada por:

R = τ m á x = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Trocando os valores de cada variável, obtemos nosso raio como:

R = τ x y = 3   M P a - ( - 2   M P a ) 2 2 + ( - 4   M P a ) 2

R = τ x y ≅ 4,717   M P a

Passo 2

Obtido o raio e o centro, já podemos construir o nosso círculo, que vai ter a seguinte cara da figura abaixo. Ah! Só lembrando aqui que nosso elemento está orientado de um ângulo de 20 ° no sentido horário, de modo que ele vai aparecer no nosso círculo com o dobro do seu valor, isto é,   40 ° .

O próximo passo agora, é determinar o nosso ângulo α , que se for olhar bem o círculo, é dado por:

α = 4   M P a 3   M P a - 0,5   M P a

tan ⁡ α = 4 2,5

α = tan - 1 ⁡ ( 1,6 )

α = 57,99 °

α ≅ 58 °

E o nosso ângulo   θ que queremos para realizar nossos cálculos é dado pela subtração abaixo, conforme dá pra ver no círculo de Mohr:

θ = α - 40 °

θ ≅ 58 ° - 40 °

θ ≅ 18 °

Passo 3

Agora, basta olhar o círculo novamente para encontrar as fórmulas de nossas tensões de estado plano, que são dadas por:

σ x ' ≅ 0,5 + R cos ⁡ 18 °

σ y ' ≅ 0,5 - R cos ⁡ 18 °

τ x ' y ' ≅ - R sen ⁡ 18 °

Substituindo os valores numéricos pertinentes, chegamos à:

σ x ' ≅ 0,5 + 4,717 cos ⁡ 18 °

σ y ' ≅ 0,5 - 4,717 cos ⁡ 18 °

τ x ' y ' ≅ - 4,717 sen ⁡ 18 °

E aqui está o resultado:

σ x ' ≅ 4,986   M P a

σ y ' ≅ - 3,986   M P a

τ x ' y ' ≅ - 1,457   M P a

Pra não perder a viagem, vamos fazer também fazer o esboço de nosso querido elemento né; que vai ter a seguinte aparência:

Resposta

σ x ' ≅ 4,986   M P a

σ y ' ≅ - 3,986   M P a

τ x ' y ' ≅ - 1,457   M P a

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