Enunciado

A haste plástica de acrílico tem 200   m m de comprimento e 15   m m de diâmetro. Se uma carga axial de 300   N for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro. E p = 2,70   G P a , v p = 0,4 .

Passo 1

Oláaaa, querido!

Então, ele diz que uma haste está sofrendo uma carga de 300   N . Ou seja, a força normal interna nela é de P = 300   N .

Isso quer dizer que se você fizer uma seção no meio dessa haste do desenho, olhar só para esquerda, posicionar um vetorzinho na seção representando a força normal interna e usar as equações de equilíbrio, você vai achar que a força normal interna é P = 300   N .

Não é porque temos duas forças ali de 300 N no desenho da haste no enunciado que cê vai dizer que a carga sobre a haste é de 600   N , tá? Tem que fazer esse procedimento da seção e achar P (quando o enunciado não te dá).

E ele diz que essa carga deforma a haste. Ali ele quer saber variação de comprimento e de diâmetro que a haste sofreu.

Bem, quando uma carga tende a alongar uma barra, o diâmetro dessa barra vai diminuir. Aí são essas variações de dimensões que precisamos achar. Bora ver como fazer isso!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a tensão normal na haste. O enunciado já nos dá a carga axial P = 300   N e o diâmetro inicial da barra, logo, vamos substituir. Temos:

σ = P A σ = P π ∙ d A B 2 4

Substituindo:

σ = 300   N π 15   m m 2 4 σ = 1,6976   M P a

Passo 3

Percebe que a tensão que a gente achou é menor que a tensão de escoamento, então ainda estamos no regime linear e podemos aplicar a lei de Hooke para determinar a deformação do comprimento ε causada pela tensão normal, temos:

ε = σ E p ε = 1,6976 × 10 6 2,70 × 10 9 ε = 0,00062874   m m / m m

E assim, podemos determinar a mudança no comprimento da barra pela fórmula da deformação longitudinal. Temos:

ε l o n g = δ L δ = ε l o n g ∙ L δ = ( 0,00062874   m m / m m ) ( 200   m m ) δ = 0,126   m m

Portanto, a variação do comprimento foi Δ L = 0,126 m m

Passo 4

Falta achar a variação de diâmetro. Como ele deu o coeficiente de Poisson v p , podemos relacionar a deformação longitudinal ε l o n g (ao longo do comprimento) com a deformação axial ε a x i a l (mudança no diâmetro), através dessa expressão:

v p = - ε a x i a l ε l o n g

Já que temos a deformação longitudinal, vamos substituir aí e achar a radial: 0,4 = - ε a x i a l 0,00062874   m m / m m ε a x i a l = - 0,0002515   m m / m m

Passo 5

E para que a gente quer essa deformação? Porque podemos usar o valor de ϵ a x i a l para encontrarmos a variação do diâmetro. Podemos escrever a deformação axial assim:

ϵ a x i a l = δ ' d

Onde δ ' é a variação de diâmetro. Vamos isolar essa bonita:

δ ' = ϵ a x i a l ⋅ d

Substituir o que a gente tem:

δ ' = - 0,0002515 m m m m ⋅ 15   m m

δ ' = - 0.00377   m m

Portanto a variação do diâmetro foi Δ d = - 0,00377 m m

Se liga no que fizemos aqui: para encontrarmos a variação no comprimento, usamos a deformação longitudinal e para encontrarmos a deformação no diâmetro, usamos a deformação axial. Beleza?

Resposta

δ = 0,126   m m

δ ' = - 0,00377   m m

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